Generaliserad hypergeometrisk funktion

Inom matematiken är en generaliserad hypergeometrisk serie en potensserie där kvoten av två konsekutiva koefficienter är en rationell funktion. Om serien konvergerar definierar den en generaliserad hypergeometrisk funktion. Många speciella funktioner kan skrivas som specialfall av generaliserade hypergeometriska funktionen.

Definition

Definiera Pochhammersymbolen:

( a ) 0 = 1 , ( a ) n = a ( a + 1 ) ( a + 2 ) . . . ( a + n − 1 ) , n ≥ 1. {\displaystyle {\begin{aligned}(a)_{0}&=1,\\(a)_{n}&=a(a+1)(a+2)...(a+n-1),&&n\geq 1.\end{aligned}}}

Då definieras generaliserade hypergeometriska funktionen som

p F q ( a 1 , … , a p ; b 1 , … , b q ; z ) = ∑ n = 0 ∞ ( a 1 ) n … ( a p ) n ( b 1 ) n … ( b q ) n z n n ! . {\displaystyle \,{}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\dots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}\dots (b_{q})_{n}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}.}

Specialfall

  • Dilogaritmen:
Li 2 ⁡ ( x ) = ∑ n > 0 x n n − 2 = x 3 F 2 ( 1 , 1 , 1 ; 2 , 2 ; x ) {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)=\sum _{n>0}\,{x^{n}}{n^{-2}}=x\;{}_{3}F_{2}(1,1,1;2,2;x)}
  • Hahnpolynom:
Q n ( x ; a , b , N ) = 3 F 2 ( − n , − x , n + a + b + 1 ; a + 1 , − N + 1 ; 1 )   {\displaystyle Q_{n}(x;a,b,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+a+b+1;a+1,-N+1;1)\ }
  • Wilsonpolynom:
p n ( t 2 ) = ( a + b ) n ( a + c ) n ( a + d ) n 4 F 3 ( − n a + b + c + d + n − 1 a − t a + t a + b a + c a + d ; 1 ) {\displaystyle p_{n}(t^{2})=(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}\;{}_{4}F_{3}\left({\begin{matrix}-n&a+b+c+d+n-1&a-t&a+t\\a+b&a+c&a+d\end{matrix}};1\right)}
  • Laguerrepolynom
L n ( α ) ( x ) = ( α + 1 ) n n ! 1 F 1 ( − n , α + 1 , x ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,x)}
  • Besselfunktionen:
J α ( x ) = ( x 2 ) α Γ ( α + 1 ) 0 F 1 ( ; α + 1 ; − 1 4 x 2 ) . {\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}

Serien 1F0

Denna serie kan skrivas i sluten form som

1 F 0 ( a ; ; z ) = ( 1 − z ) − a . {\displaystyle {}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}.}

Differentialekvationen för denna funktion är

d d z w = ( z d d z + a ) w , {\displaystyle {\frac {d}{dz}}w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w,}

eller

( 1 − z ) d w d z = a w {\displaystyle (1-z){\frac {dw}{dz}}=aw}

vars alla lösningar ges av

w = k ( 1 − z ) − a {\displaystyle w=k(1-z)^{-a}}

där k är en konstant.

Serien 0F1

Funktioner av formen 0 F 1 ( ; a ; z ) {\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)} är relaterade till Besselfunktioner enligt formeln

J α ( x ) = ( x 2 ) α Γ ( α + 1 ) 0 F 1 ( ; α + 1 ; − 1 4 x 2 ) . {\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}

Differentialekvationen för denna funktion är

w = ( z d d z + a ) d w d z {\displaystyle w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right){\frac {dw}{dz}}}

eller

z d 2 w d z 2 + a d w d z − w = 0. {\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+a{\frac {dw}{dz}}-w=0.}

Serien 2F0

Denna serie förekommer i samband med exponentiella integralen Ei(z).

Serien 3F1

Denna serie förekommer i teorin för Besselfunktioner. Den kan användas till att beräkna värden på Besselfunktioner med stora argument.

Egenskaper

Eulers integraltransformation

Följande identitet är väldigt användbar:

A + 1 F B + 1 [ a 1 , … , a A , c b 1 , … , b B , d ; z ] = Γ ( d ) Γ ( c ) Γ ( d − c ) ∫ 0 1 t c − 1 ( 1 − t ) d − c − 1   A F B [ a 1 , … , a A b 1 , … , b B ; t z ] d t . {\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c\\b_{1},\ldots ,b_{B},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A}\\b_{1},\ldots ,b_{B}\end{array}};tz\right]dt.}

Differentiering

Generaliserade hypergeometriska funktionen satisfierar

( z d d z + a j ) p F q [ a 1 , … , a j , … , a p b 1 , … , b q ; z ] = a j p F q [ a 1 , … , a j + 1 , … , a p b 1 , … , b q ; z ] ( z d d z + b k − 1 ) p F q [ a 1 , … , a p b 1 , … , b k , … , b q ; z ] = ( b k − 1 ) p F q [ a 1 , … , a p b 1 , … , b k − 1 , … , b q ; z ] d d z p F q [ a 1 , … , a p b 1 , … , b q ; z ] = ∏ i = 1 p a i ∏ j = 1 q b j p F q [ a 1 + 1 , … , a p + 1 b 1 + 1 , … , b q + 1 ; z ] {\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}}

Genom att kombinera dessa får man följande differentialekvation satisfierad av w = pFq:

z ∏ n = 1 p ( z d d z + a n ) w = z d d z ∏ n = 1 q ( z d d z + b n − 1 ) w . {\displaystyle z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{n}\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{n}-1\right)w.}

Identiteter

Saalschützs sats

3 F 2 ( a , b , − n ; c , 1 + a + b − c − n ; 1 ) = ( c − a ) n ( c − b ) n ( c ) n ( c − a − b ) n {\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1)={\frac {(c-a)_{n}(c-b)_{n}}{(c)_{n}(c-a-b)_{n}}}}

Dixons identitet

Dixons identitet ger summan av en viss 3F2-serie vid z=1:

3 F 2 ( a , b , c ; 1 + a − b , 1 + a − c ; 1 ) = Γ ( 1 + a 2 ) Γ ( 1 + a 2 − b − c ) Γ ( 1 + a − b ) Γ ( 1 + a − c ) Γ ( 1 + a ) Γ ( 1 + a − b − c ) Γ ( 1 + a 2 − b ) Γ ( 1 + a 2 − c ) . {\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma (1+{\frac {a}{2}})\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-c)}}.}

Dougalls formel

Dougalls formel är formeln

7 F 6 ( a 1 + a 2 b c d e − m a 2 1 + a − b 1 + a − c 1 + a − d 1 + a − e 1 + a + m ; 1 ) = = ( 1 + a ) m ( 1 + a − b − c ) m ( 1 + a − c − d ) m ( 1 + a − b − d ) m ( 1 + a − b ) m ( 1 + a − c ) m ( 1 + a − d ) m ( 1 + a − b − c − d ) m {\displaystyle {\begin{aligned}{}_{7}F_{6}&\left({\begin{matrix}a&1+{\frac {a}{2}}&b&c&d&e&-m\\&{\frac {a}{2}}&1+a-b&1+a-c&1+a-d&1+a-e&1+a+m\\\end{matrix}};1\right)=\\&={\frac {(1+a)_{m}(1+a-b-c)_{m}(1+a-c-d)_{m}(1+a-b-d)_{m}}{(1+a-b)_{m}(1+a-c)_{m}(1+a-d)_{m}(1+a-b-c-d)_{m}}}\end{aligned}}}

där m inte är ett icke-negativt heltal och

1 + 2 a = b + c + d + e − m . {\displaystyle 1+2a=b+c+d+e-m.}

Många andra formler för speciella värden av hypergeometriska funktioner kan fås som specialfall av Dougalls formel.

Generaliseringar av Kummers transformationer och identiteter för 2F2

Identitet 1.

e − x 2 F 2 ( a , 1 + d ; c , d ; x ) = 2 F 2 ( c − a − 1 , f + 1 ; c , f ; − x ) {\displaystyle e^{-x}\;{}_{2}F_{2}(a,1+d;c,d;x)={}_{2}F_{2}(c-a-1,f+1;c,f;-x)}

där

f = d ( a − c + 1 ) a − d . {\displaystyle f={\frac {d(a-c+1)}{a-d}}.}

Identitet 2.

e − x 2 2 F 2 ( a , 1 + b ; 2 a + 1 , b ; x ) = 0 F 1 ( ; a + 1 2 ; x 2 16 ) − x ( 1 − 2 a b ) 2 ( 2 a + 1 ) 0 F 1 ( ; a + 3 2 ; x 2 16 ) {\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{2}F_{2}\left(a,1+b;2a+1,b;x\right)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)-{\frac {x\left(1-{\tfrac {2a}{b}}\right)}{2(2a+1)}}\;{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)}

som relaterar Besselfunktioner till 2F2; det här reducerar sig till Kummers andra formel för b = 2a:

Identitet 3.

e − x 2 1 F 1 ( a , 2 a , x ) = 0 F 1 ( ; a + 1 2 ; x 2 16 ) {\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{1}F_{1}(a,2a,x)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)} .

Identitet 4.

2 F 2 ( a , b ; c , d ; x ) = ∑ i = 0 ( b − d i ) ( a + i − 1 i ) ( c + i − 1 i ) ( d + i − 1 i ) 1 F 1 ( a + i ; c + i ; x ) x i i ! = e x ∑ i = 0 ( b − d i ) ( a + i − 1 i ) ( c + i − 1 i ) ( d + i − 1 i ) 1 F 1 ( c − a ; c + i ; − x ) x i i ! {\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{2}(a,b;c,d;x)=&\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(a+i;c+i;x){\frac {x^{i}}{i!}}\\=&e^{x}\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(c-a;c+i;-x){\frac {x^{i}}{i!}}\end{aligned}}}

som är en ändlig summa om b-d är ett icke-negativt heltal.

Kummers relation

Kummers relation är

2 F 1 ( 2 a , 2 b ; a + b + 1 2 ; x ) = 2 F 1 ( a , b ; a + b + 1 2 ; 4 x ( 1 − x ) ) . {\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(2a,2b;a+b+{\tfrac {1}{2}};x\right)={}_{2}F_{1}\left(a,b;a+b+{\tfrac {1}{2}};4x(1-x)\right).}

Clausens formel

Clausens formel

3 F 2 ( 2 c − 2 s − 1 , 2 s , c − 1 2 ; 2 c − 1 , c ; x ) = 2 F 1 ( c − s − 1 2 , s ; c ; x ) 2 {\displaystyle {}_{3}F_{2}(2c-2s-1,2s,c-{\tfrac {1}{2}};2c-1,c;x)=\,{}_{2}F_{1}(c-s-{\tfrac {1}{2}},s;c;x)^{2}}

användes av de Branges till att bevisa Bieberbachförmodan.

Generaliseringar

Bilaterala hypergeometriska serier är en generalisering av hypergeometriska serier där summan är över alla heltal, inte bara de positiva.

Fox–Wrights funktion är en generalisering av generaliserade hypergeometriska funktionen där Pochhammersymbolerna i serien ersätts med gammafunktioner av linjära polynom av n.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Generalized hypergeometric function, 17 februari 2014.
  • Askey, R. A.; Daalhuis, Adri B. Olde (2010), ”Generaliserad hypergeometrisk funktion”, i Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. m.fl., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, MR 2723248, ISBN 978-0521192255 
  • Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999). Special functions. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. "71". Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62321-6 
  • Bailey, W.N. (1935). Generalized Hypergeometric Series. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. "32". London: Cambridge University Press 
  • Dixon, A.C. (1902). ”Summation of a certain series”. Proc. London Math. Soc. 35 (1): sid. 284–291. doi:10.1112/plms/s1-35.1.284. 
  • Dougall, J. (1907). ”On Vandermonde's theorem and some more general expansions”. Proc. Edinburgh Math. Soc. 25: sid. 114–132. doi:10.1017/S0013091500033642. 
  • Gasper, George; Rahman, Mizan (2004). Basic Hypergeometric Series. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. "96" (2nd). Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83357-4  (the first edition has ISBN 0-521-35049-2)
  • Gauss, Carl Friedrich (1813). ”Disquisitiones generales circa seriam infinitam   1 + α β 1 ⋅ γ   x + α ( α + 1 ) β ( β + 1 ) 1 ⋅ 2 ⋅ γ ( γ + 1 )   x   x + etc. {\displaystyle 1+{\tfrac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}~x~x+{\mbox{etc.}}} ” (på latin). Commentationes societatis regiae scientarum Gottingensis recentiores (Göttingen) 2. http://books.google.com/books?id=uDMAAAAAQAAJ.  (a reprint of this paper can be found in Carl Friedrich Gauss, Werke, p. 125)
  • Heckman, Gerrit; Schlichtkrull, Henrik (1994). Harmonic Analysis and Special Functions on Symmetric Spaces. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-336170-2  (part 1 treats hypergeometric functions on Lie groups)
  • Lavoie, J.L.; Grondin, F.; Rathie, A.K.; Arora, K. (1994). ”Generalizations of Dixon's theorem on the sum of a 3F2”. Math. Comp. 62: sid. 267–276. 
  • Miller, A. R.; Paris, R. B. (2011). ”Euler-type transformations for the generalized hypergeometric function r+2Fr+1”. Zeit. Angew. Math. Physik: sid. 31–45. doi:10.1007/s00033-010-0085-0. 
  • Quigley, J.; Wilson, K.J.; Walls, L.; Bedford, T. (2013). ”A Bayes linear Bayes Method for Estimation of Correlated Event Rates”. Risk Analysis. doi:10.1111/risa.12035. 
  • Rathie, Arjun K.; Pogány, Tibor K. (2008). ”New summation formula for 3F2(1/2) and a Kummer-type II transformation of 2F2(x)”. Mathematical Communications 13: sid. 63–66. http://hrcak.srce.hr/file/37118. 
  • Rakha, M.A.; Rathie, Arjun K. (2011). ”Extensions of Euler's type- II transformation and Saalschutz's theorem”. Bull. Korean Math. Soc. 48: sid. 151–156. 
  • Saalschütz, L. (1890). ”Eine Summationsformel”. Zeitschrift für Mathematik und Physik 35: sid. 186–188. 
  • Slater, Lucy Joan (1966). Generalized Hypergeometric Functions. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X  (there is a 2008 paperback with ISBN 978-0-521-09061-2)
  • Yoshida, Masaaki (1997). Hypergeometric Functions, My Love: Modular Interpretations of Configuration Spaces. Braunschweig/Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn. ISBN 3-528-06925-2