Laplaces ekvation

Laplaces ekvation, en partiell differentialekvation med namn efter Pierre Simon de Laplace. Dess allmänna form är

∇ 2 u = 0 , {\displaystyle \nabla ^{2}u=0,}

där ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} är Laplaceoperatorn. I ett tredimensionellt rum med kartesiska koordinater skrivs ekvationen

∇ 2 u = ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0} .

En funktion som uppfyller Laplaces ekvation kallas harmonisk.

Laplaces ekvation uppträder ofta i vitt skilda fysikaliska sammanhang när en process uppnått jämvikt, så kallat stabilt tillstånd. Ett exempel är när en uppvärmd kropp/massa når jämvikt, då den inre värmefördelningen inte längre förändras. En sådan kropps värmeledningsekvation är lösning till Laplaces ekvation.

Poissons ekvation är en generalisering av Laplaces ekvation.