Linjär ekvation

 Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2016-10)
Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.
Två olika linjer och deras ekvationer.
Två olika linjer och deras ekvationer.

Linjär ekvation, eller räta linjens ekvation, är en ekvation som beskriver en punktmängd, ofta en linje, i exempelvis ett plan eller ett rum. Ekvationen går att generalisera till en godtycklig dimension genom följande

a 1 x 1 + ⋯ + a n x n + b = 0 {\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0}

där man låter n {\textstyle n} vara dimensionen, exempelvis är den räta linjen fallet då n = 2 {\textstyle n=2} .

Linjära ekvationer i två variabler

En vanlig form att skriva en linjär ekvation på är k-formen:

y = k x + m {\displaystyle y=kx+m\,}

där k kallas riktningskoefficient och m kallas konstantterm. Sett som en linje i ett koordinatsystem utgör k linjens lutning och m {\displaystyle m} hur många enheter som linjen är förskjuten från origo.

Om k > 0 {\displaystyle k>0} har linjen en positiv lutning medan den har en negativ lutning om k < 0 {\displaystyle k<0} .

Om k = 0 {\displaystyle k=0} är funktionen konstant och linjen är parallell med x-axeln.

Två linjer med samma riktningskoefficient är parallella. Två linjer vars riktningskoefficienter multiplicerade med varandra blir -1 är vinkelräta mot varandra.

För att kontrollera om en punkt finns på linjen kan man helt enkelt sätta in punktens koordinater som x {\displaystyle x} och y {\displaystyle y} i ekvationen och se om vi får likhet.

Andra former

En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form:

A x + B y + C = 0 {\displaystyle Ax+By+C=0\,}

eller på standardform:

A x + B y = C . {\displaystyle Ax+By=C.\,}

Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} på linjen kan man skriva den på enpunktsform:

y − y 0 = k ( x − x 0 ) {\displaystyle y-y_{0}=k(x-x_{0})\,}

Linjära ekvationer i flera variabler

En linjär ekvation kan innehålla flera fria variabler och den allmänna linjära ekvationen för n variabler ser ut som:

a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + a n x n = b {\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=b\,}

och kan även skrivas på vektorform:

a T x = b . {\displaystyle \mathbf {a} ^{T}\mathbf {x} =b.}

En sådan ekvation representerar ett ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -dimensionellt hyperplan i ett n-dimensionellt rum.

Källor

  • Persson, Arne. (2010). Analys i en variabel. Studentlitteratur. ISBN 9789144067650. OCLC 856672767. http://worldcat.org/oclc/856672767. Läst 10 juni 2019 

Externa länkar

  • Wiktionary har ett uppslag om linjär ekvation.
    Ordbok
  • Wikimedia Commons har media som rör linjär ekvation.