Nablaoperatorn

 Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2023-07)
Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Nablaoperatorn är en differentialoperator, betecknad med symbolen ∇, som används inom vektoranalysen. Symbolen är ett kortare och bekvämare tecken för den vektorlika operatorn (i tre dimensioner med kartesiska koordinater):

( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) {\displaystyle \left({\cfrac {\partial }{\partial x}},{\cfrac {\partial }{\partial y}},{\cfrac {\partial }{\partial z}}\right)}

Symbolen introducerades av William Rowan Hamilton. Namnet nabla kommer från ett hebreiskt stränginstrument med liknande form.

Operatorn kan appliceras på skalärfält (φ) eller vektorfält (F = (Fx, Fy, Fz)), för att ge

  • Gradienten ∇φ, även kallat grad φ
∇ ϕ = ( ∂ ϕ ∂ x , ∂ ϕ ∂ y , ∂ ϕ ∂ z ) {\displaystyle \nabla \phi =\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)}
  • Divergensen ∇⋅F, även kallat div F
∇ ⋅ F = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}
  • Rotationen ∇×F, även kallat rot F
∇ × F = | e x e y e z ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z | = ( ∂ F z ∂ y − ∂ F y ∂ z , ∂ F x ∂ z − ∂ F z ∂ x , ∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y ) {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left\vert {\begin{matrix}e_{x}&e_{y}&e_{z}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{matrix}}\right\vert =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}},{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}},{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)}

Om man kombinerar gradient och divergens får man Laplaceoperatorn, vilken betecknas med nablaoperatorn i kvadrat, ∇2 alternativt Δ:

Δ ϕ = ∇ 2 ϕ = ∇ ⋅ ∇ ϕ = ∂ 2 ϕ ∂ x 2 + ∂ 2 ϕ ∂ y 2 + ∂ 2 ϕ ∂ z 2 {\displaystyle \Delta \phi =\nabla ^{2}\phi =\nabla \cdot \nabla \phi ={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}}

Samt för vektorfält:

Δ F = ∇ 2 F = ∇ ( ∇ ⋅ F ) − ∇ × ( ∇ × F ) {\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )}

Räkneregler

Genom att tolka nablaoperatorn som en vektor och använda räkneregler för vektorprodukter går det att visa att

∇ × ( ∇ ϕ ) = 0 {\displaystyle \nabla \times (\nabla \phi )=\mathbf {0} }
∇ × ∇ = 0 {\displaystyle \nabla \times \nabla =\mathbf {0} }

Produktregler

∇ ( f g ) = f ∇ g + g ∇ f ∇ ( u → ⋅ v → ) = u → × ( ∇ × v → ) + v → × ( ∇ × u → ) + ( u → ⋅ ∇ ) v → + ( v → ⋅ ∇ ) u → ∇ ⋅ ( f v → ) = f ( ∇ ⋅ v → ) + v → ⋅ ( ∇ f ) ∇ ⋅ ( u → × v → ) = v → ⋅ ( ∇ × u → ) − u → ⋅ ( ∇ × v → ) ∇ × ( f v → ) = ( ∇ f ) × v → + f ( ∇ × v → ) ∇ × ( u → × v → ) = u → ( ∇ ⋅ v → ) − v → ( ∇ ⋅ u → ) + ( v → ⋅ ∇ ) u → − ( u → ⋅ ∇ ) v → {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (fg)&=f\nabla g+g\nabla f\\\nabla ({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})&={\vec {u}}\times (\nabla \times {\vec {v}})+{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {u}})+({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {u}}\\\nabla \cdot (f{\vec {v}})&=f(\nabla \cdot {\vec {v}})+{\vec {v}}\cdot (\nabla f)\\\nabla \cdot ({\vec {u}}\times {\vec {v}})&={\vec {v}}\cdot (\nabla \times {\vec {u}})-{\vec {u}}\cdot (\nabla \times {\vec {v}})\\\nabla \times (f{\vec {v}})&=(\nabla f)\times {\vec {v}}+f(\nabla \times {\vec {v}})\\\nabla \times ({\vec {u}}\times {\vec {v}})&={\vec {u}}\,(\nabla \cdot {\vec {v}})-{\vec {v}}\,(\nabla \cdot {\vec {u}})+({\vec {v}}\cdot \nabla )\,{\vec {u}}-({\vec {u}}\cdot \nabla )\,{\vec {v}}\end{aligned}}}

Se även