Noethersk ring

En noethersk ring är inom matematiken en speciell sorts ring, uppkallad efter Emmy Noether. En kommutativ ring med etta R kallas noethersk om varje ideal är ändligtgenererat, det vill säga att för varje ideal I finns en ändlig mängd av element ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ i I så att varje element x i I kan skrivas som en linjärkombination av dessa element:

${\displaystyle x=r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+...+r_{n}a_{n}\,}$

där elementen ${\displaystyle r_{1},r_{2},...,r_{n}}$ är element i R. Att I genereras av ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ skrivs vanligtvis ${\displaystyle I=(a_{1},a_{2},...,a_{n})}$.

För okommutativa ringar ringar med etta måste man vara litet mer precis. Man får två inte helt ekvivalenta^{[särskiljning behövs]} egenskaper: Ringen kan vara högernoethersk eller vänsternoethersk; se de formella definitionerna nedan.

Definitioner

Noetherska ringar kan definieras som ovan, att varje ideal är ändligt genererat. Ett annat, ekvivalent villkor är det växande kedjevillkoret på ideal:

En kommutativ ring med etta R är noethersk, precis om det för varje växande kedja av ideal ${\displaystyle I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq ...}$ i ringen finns ett n så att ${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=...}$.

För icke-kommutativa ringar definierar man begreppen vänster- respektive högernoethersk ring. En ring kallas vänsternoethersk om varje vänsterideal är ändligt genererat (eller varje växande kedja av vänsterideal ${\displaystyle I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq ...}$ till slut ger ${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=...}$). En högernoethersk ring definieras analogt med högerideal. En ring som är vänsternoethersk är inte nödvändigtvis högernoethersk^[1], och vice versa. En ring som är både vänster- och högernoethersk kallas för noethersk ring.

En kommutativ ring är noethersk, precis om den är en noethersk modul som modul över sig själv. En ring är vänster- respektive högernoethersk, om den är noethersk som vänster- respektive högermodul över sig själv.

Exempel

Några ringar som är noetherska är:

• Alla kroppar (exempelvis de rationella talen och de reella talen).
• Alla principalidealdomäner.
• Alla polynomringar i ändligt många variabler över en kropp.

Exempel på ringar som inte är noetherska:

• Polynomringen i oändligt många variabler, ${\displaystyle x_{1},x_{2},...}$ över en kropp. Idealen ${\displaystyle (x_{1}),(x_{1},x_{2}),(x_{1},x_{2},x_{3}),...}$ är en växande kedja som inte slutar.
• Ringen av alla kontinuerliga funktioner från de reella talen till de reella talen.

Egenskaper

• Hilberts bassats säger att om R är noethersk är polynomringen R[x] noethersk.
• Om R är noethersk och I är ett tvåsidigt ideal är kvotringen R/I noethersk.
• Varje ändligtgenererad modul över en noethersk ring är noethersk.

Se även

• Krull–Akizukis sats
• Noetherskt schema
• Artinsk ring
• Artin–Rees lemma
• Krulls principalidealsats

Referenser

• Eisenbud, David. Commutative Algebra. Springer Verlag. ISBN 9780387942698 
• Lam, T.Y.. A First Course in Noncommutative Rings. Springer Verlag. ISBN 978-0387951836 

Noter