Potensserie

En potensserie (i en variabel) är en serie på formen

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n ( x − c ) n = a 0 + a 1 ( x − c ) + a 2 ( x − c ) 2 + … {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+\dots }

där koefficienterna an, centrumpunkten c och variabeln x vanligtvis är reella eller komplexa tal.[1] Serier av den här typen dyker upp i samband med Taylorserier.

I många sammanhang är c lika med noll, till exempel för en Maclaurinserie. I dessa fall får potensserien det något enklare utseendet

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots }

Sådana här potensserier dyker främst upp inom analysen, men också inom kombinatoriken (som genererande funktioner) och elektrotekniken (i Z-transformen). Decimalnotationen för heltal kan ses som en potensserie där x är lika med 10.

Egenskaper

Om en reell potensserie f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ a k x k {\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}} konvergerar för något x 0 {\displaystyle x_{0}} , konvergerar den absolut för alla x {\displaystyle x} sådana att | x | < | x 0 | {\displaystyle |x|<|x_{0}|} . Antingen konvergerar serien för alla x {\displaystyle x} eller finns det en konvergensradie, R {\displaystyle R} , sådan att serien konvergerar för | x | < R {\displaystyle |x|<R} . För x = ± R {\displaystyle x=\pm R} går det inte att säga något allmänt om konvergens − potensserien kan konvergera betingat, absolut eller divergera. Innanför konvergensradien kan serien deriveras och integreras termvis enligt

∫ ( ∑ k = 0 ∞ a k x k ) d x = ∑ k = 0 ∞ a k x k + 1 k + 1 + C {\displaystyle \int \left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}\right)dx=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}x^{k+1}}{k+1}}+C}
d d x ( ∑ k = 0 ∞ a k x k ) = ∑ k = 0 ∞ k a k x k − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }ka_{k}x^{k-1}} .

Detta är inte en självklar egenskap utan kommer ifrån att potensserier konvergerar likformigt.[2]

Ovanstående egenskaper utvidgas enkelt till komplexa potensserier.[1]

Exempel

Ett polynom kan enkelt uttryckas som en potensserie runt något centrum c, även om de flesta koefficienterna blir lika med 0. Till exempel så kan polynomet f(x) = x² + 2x + 3 skrivas runt c=0 som

f ( x ) = 3 + 2 x + 1 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 + … {\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\dots }

eller runt c=1 som

f ( x ) = 6 + 4 ( x − 1 ) + 1 ( x − 1 ) 2 + 0 ( x − 1 ) 3 + 0 ( x − 1 ) 4 + … {\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\dots }

Ett par av de viktigaste exemplen är den geometriska serien

1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + … {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\dots }

som konvergerar för |x| < 1 samt exponentialfunktionen

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + … {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\dots }

Dessa serier har varit Taylorserier, men det finns potensserier som inte är Taylorserier till någon funktion, till exempel

∑ n = 0 ∞ n ! x n = 1 + x + 2 ! x 2 + 3 ! x 3 + … {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n!x^{n}=1+x+2!x^{2}+3!x^{3}+\dots }

Koefficienterna i en potensserie an får inte bero på x. Följande är alltså inte ett exempel på potensserier.

1 + sin ⁡ ( x ) x + sin ⁡ ( 2 x ) x 2 + sin ⁡ ( 3 x ) x 3 + … {\displaystyle 1+\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\dots }

Källor

  1. ^ [a b] Saff och Snider (2003). Fundamentals of Complex Analysis. Pearson Education, Inc. sid. 252–256. ISBN 0-13-017968-X 
  2. ^ Abbott, Stephen (2001). Understanding analysis. Springer Science+Business Media, Inc. sid. 169–173. ISBN 0-387-95060-5 

Externa länkar

  • Wikimedia Commons har media som rör Potensserie.
    Bilder & media