Radon-Nikodyms sats

Radon-Nikodyms sats är ett resultat inom integrationsteori som säger att om (X,Σ) är en σ-algebra, μ är ett σ {\displaystyle \sigma } -ändligt mått på (X,Σ) och v är ett annat mått på X {\displaystyle X} som uppfyller att ν ( A ) = 0 {\displaystyle \nu (A)=0} för alla mätbara mängder A sådana att μ ( A ) = 0 {\displaystyle \mu (A)=0} , så finns en mätbar funktion med värdemängd i [0,∞) f sådan att

ν ( E ) = ∫ E f   d μ {\displaystyle \nu (E)=\int _{E}f\ d\mu }

för alla mätbara mängder E.

Terminologi och notation

Om måttet v uppfyller att ν ( A ) = 0 {\displaystyle \nu (A)=0} närhelst μ ( A ) = 0 {\displaystyle \mu (A)=0} sägs det vara absolutkontinuerligt med avseende på μ. Detta kan också skrivas ν ≪ μ. Slutsatsen i Radon-Nikodyms sats kan uttryckas som att d ν = f   d μ {\displaystyle d\nu =f\ d\mu } för någon funktion f. Funktionen f är inte i allmänhet entydigt bestämd men två olika val av f måste vara lika nästan överallt.

Funktionen f kallas ofta för Radon-Nikodym-derivatan av v med avseende på μ och kan skrivas d ν d μ {\displaystyle {\frac {d\nu }{d\mu }}} . (Formellt sett är det en klass av funktioner man betecknar på detta vis vars element parvis skiljer sig åt på en nollmängd.)

Radon-Nikodym-derivatans egenskaper

Radon-Nikodym-derivatan har kopplingar till den vanliga derivatan och delar flera av dess egenskaper.

  • Om ν ≪ μ ≪ λ så gäller att
d ν d λ = d ν d μ d μ d λ . {\displaystyle {\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}.}
  • Om ν ≪ λ och μ ≪ λ så gäller att
d ( ν + μ ) d λ = d ν d λ + d μ . {\displaystyle {\frac {d(\nu +\mu )}{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\lambda }}+{\frac {d\mu }{.}}}
  • Om μ ≪ λ och g är en μ-integrerbar funktion gäller att
∫ X g d μ = ∫ X g d μ d λ d λ . {\displaystyle \int _{X}g\,d\mu =\int _{X}g{\frac {d\mu }{d\lambda }}\,d\lambda .}
  • Om μ ≪ ν ochd ν ≪ μ, så gäller att
d μ d ν = ( d ν d μ ) − 1 . {\displaystyle {\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{-1}.}


Antagandet om σ-ändlighet

Radon-Nikodyms sats är inte sann i allmänhet utan antagandet om att μ är σ-ändlig. Låt nämligen μ vara kardinalitetmåttet på de reella talen och låt m vara det vanliga Lebesgue-måttet. m är absolut-kontinuerligt med avseende på μ men det finns ingen funktion f så att

m ( A ) = ∫ A f   d μ {\displaystyle m(A)=\int _{A}f\ d\mu }

för alla mätbara mängder A.


Referenser

  • G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons 1999 ISBN 0-471-31716-0