Riktningsderivata

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2023-07) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Inom matematik, särskilt flervariabelanalys, är riktningsderivata ett mått på hur snabbt en funktion förändras i en viss riktning. Givet en reellvärd funktion f, en punkt a och en linje x = a + tv där v är en enhetsvektor, ges riktningsderivatan i riktningen v av

${\displaystyle f'_{v}(\mathbf {a} )=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} )}{t}}}$

Med hjälp av gradienten kan riktningsderivatan även uttryckas på den mer praktiska formen

${\displaystyle f'_{v}(\mathbf {a} )=\nabla f(\mathbf {a} )\cdot \mathbf {v} }$.

Riktningsderivatan utgör en generalisering till godtyckliga riktningar av den partiella derivatan, som fås då v sätts lika med en basvektor.

Bevis

Vi visar att

${\displaystyle f'_{v}(\mathbf {a} )=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} )}{t}}=\nabla f(\mathbf {a} )\cdot \mathbf {v} }$

Sätt ${\displaystyle h(t)=f(\mathbf {a} +t\mathbf {v} )}$, vi har då

${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} )}{t}}=\lim _{t\to 0}{\frac {h(t)-h(0)}{t}}=h'(0)}$

Men enligt kedjeregeln är ${\displaystyle h'(t)=\nabla f(\mathbf {a} +t\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} }$. Påståendet följer genom att sätta ${\displaystyle t=0}$.

Se även

• Fréchetderivata
• Gâteauxderivata
• Generalisringar av derivatan
• Liederivata
• Differentialform
• Strukturtensor

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Riktningsderivata.
  Bilder & media