Storkanonisk ensemble

Inom statistisk fysik är en storkanonisk ensemble en statistisk ensemble, alltså en uppsättning identiskt preparerade system (till exempel atomer eller molekyler), som alla är i jämvikt med ett externt värmebad, både i fråga om partikel-[förtydliga] och energiutbyte.

Tillståndssumman för en storkanonisk ensemble är:

Z ( T , V , μ ) = ∑ N r e μ N − E N r k B T {\displaystyle {\mathcal {Z}}(T,V,\mu )=\sum _{Nr}e^{\frac {\mu N-E_{Nr}}{k_{B}T}}}

Där μ är den kemiska potentialen, T är temperaturen, V volymen, N är ett partikelantal och r numrerar de olika energinivåerna ENr för ett visst N (båda varierar alltså över summan), och slutligen kB är Boltzmanns konstant (1/kBT skrivs ibland som β). Sannolikheten pNr för att systemet skall befinna sig i ett tillstånd Nr ges av Gibbsdistributionen, eller den storkanoniska distributionen:

p N r = e μ N − E N r k B T Z {\displaystyle p_{Nr}={\frac {e^{\frac {\mu N-E_{Nr}}{k_{B}T}}}{\mathcal {Z}}}}

Koppling till termodynamik

Man kan från den storkanoniska ensemblem ta sig vidare till termodynamiken på det vanliga sättet, genom att ta -kBT gånger logaritmen av tillståndssumman. När man gör detta erhålles den termodynamiska potential som ofta betecknas Ω:

Ω = − k B T ln ⁡ ( Z ) . {\displaystyle \Omega =-k_{B}T\ln({\mathcal {Z}}).}

Denna kan även skrivas som

Ω = E − T S − μ N {\displaystyle \Omega =E-TS-\mu N\,}

där, förutom ovan nämnda storheter, även entropin S finns med, och energierna för de enskilda energinivåerna ersatts med energin för hela systemet, E.

Källor

  • E. Mandl (1988). Statistical Physics. ISBN 0-471-91533-5