Sylvesters sats

Sylvesters sats är en matematisk sats uppkallad efter matematikern James Joseph Sylvester som lyder Om man har en ändlig punktmängd i planet, ${\displaystyle P}$, där alla punkter inte ligger längs en linje så finns det en linje som skär exakt två punkter.

Bevis

Bildar mängden ${\displaystyle L}$ som är mängden av alla linjer i planet som skär minst två punkter i ${\displaystyle P}$. Tar sedan ett par ${\displaystyle (p,l)}$, där ${\displaystyle p}$ är en punkt i ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle l}$ är en linje i ${\displaystyle L}$ och där ${\displaystyle l}$ inte går igenom ${\displaystyle p}$, så att avståndet mellan ${\displaystyle p}$ och ${\displaystyle l}$ är det minsta möjliga.

Påstår att om vi valt rätt ${\displaystyle p}$ och ${\displaystyle l}$ enligt ovan så kommer ${\displaystyle l}$ att skära exakt två punkter och satsen skulle därmed vara uppfylld.

Om ${\displaystyle l}$ inte skär två punkter så måste den skära fler punkter i ${\displaystyle P}$. Om vi väljer ${\displaystyle l}$ och ${\displaystyle p}$ där ${\displaystyle l}$ går genom exempelvis tre punkter, se figur 1. Då uppstår en motsägelse i och med att om vi istället tar linjen ${\displaystyle m}$ och punkten ${\displaystyle q}$ enligt figur två så blir avståndet ${\displaystyle A}$ större än avståndet ${\displaystyle B}$ och därmed uppfyller inte ${\displaystyle (p,l)}$ kravet på att de skulle ha minsta möjliga avstånd mellan dem.