Trapetsregeln

Trapetsregeln (ej att förväxla med trapetsmetoden) är en numerisk metod för att approximera en bestämd integral på formen ${\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}$.

Metoden går ut på att integralen av ${\displaystyle f(x)}$ på intervallet ${\displaystyle [a,b]}$ kan approximeras med en trapets,

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx (b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}$

Sammansatta trapetsregeln

Genom att dela in intervallet ${\displaystyle [a,b]}$ i ${\displaystyle N}$ stycken delintervall med längd ${\displaystyle h=(b-a)/N}$ och tillämpa trapetsregeln på vart och ett av delintervallen fås den sammansatta trapetsregeln,

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx T(h):=h\sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k})+f(x_{k+1})}{2}},}$

där ${\displaystyle x_{k}=a+(k-1)h}$, ${\displaystyle k=1,...,N+1}$, så att ${\displaystyle x_{1}=a}$ och ${\displaystyle x_{N+1}=b}$.

Varierande intervallängd

Om intervallängden ${\displaystyle h_{k}=x_{k+1}-x_{k}}$ inte är konstant kan den sammansatta trapetsregeln uttryckas på sin allmänna form,

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx \sum _{k=1}^{N}(x_{k+1}-x_{k}){\frac {f(x_{k})+f(x_{k+1})}{2}}.}$

Trunkeringsfel

Trunkeringsfelet för den sammansatta trapetsregeln kan uttryckas som ^[1]

${\displaystyle e(h)=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x-T(h)=c_{1}h^{2}+c_{2}h^{4}+c_{3}h^{6}+...={\mathcal {O}}(h^{2}),}$

det vill säga den dominerande feltermen är proportionell mot ${\displaystyle h^{2}}$, så metoden har noggrannhetsordning två.

Referenser