Poligama fonksiyonu

Matematik'te, poligama fonksiyonu' eşitliğin soludur ve türevin kuvvetine m konulduğunda eşitliğin sağ tarafındaki gama fonksiyonu'nun logaritma'sının (m + 1). türevi olarak tanımlanır.

ψ ( m ) ( z ) = ( d d z ) m ψ ( z ) = ( d d z ) m + 1 ln ⁡ Γ ( z ) . {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}\psi (z)=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m+1}\ln \Gamma (z).}

Burada

ψ ( z ) = ψ ( 0 ) ( z ) = Γ ′ ( z ) Γ ( z ) {\displaystyle \psi (z)=\psi ^{(0)}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}

digama fonksiyonu'dur ve Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} gamma fonksiyonudur. Bu fonksiyon yani ψ ( 1 ) ( z ) {\displaystyle \psi ^{(1)}(z)} bazen trigama fonksiyonu olarak kodlanabilir.

Gama fonksiyonunun logaritması ve ilk birkaç poligama fonksiyonunun karmaşık düzlemde gösterimi
ln ⁡ Γ ( z ) {\displaystyle \ln \Gamma (z)} ψ ( 0 ) ( z ) {\displaystyle \psi ^{(0)}(z)} ψ ( 1 ) ( z ) {\displaystyle \psi ^{(1)}(z)} ψ ( 2 ) ( z ) {\displaystyle \psi ^{(2)}(z)} ψ ( 3 ) ( z ) {\displaystyle \psi ^{(3)}(z)} ψ ( 4 ) ( z ) {\displaystyle \psi ^{(4)}(z)}

Integral gösterimleri

Poligama fonksiyonunun integral gösterimi

ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) ( m + 1 ) ∫ 0 ∞ t m e − z t 1 − e − t d t {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{(m+1)}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}dt}

Re z >0 ve m > 0 şeklindedir. m = 0 için digama fonksiyonu tanımlanır.

Tekrarlayan ilişki

tekrarlayan ilişki

ψ ( m ) ( z + 1 ) = ψ ( m ) ( z ) + ( − 1 ) m m ! z − ( m + 1 ) . {\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+(-1)^{m}\;m!\;z^{-(m+1)}.} şeklindedir.

Çarpım teoremi

çarpım teoremi m > 1 {\displaystyle m>1} için

k m ψ ( m − 1 ) ( k z ) = ∑ n = 0 k − 1 ψ ( m − 1 ) ( z + n k ) {\displaystyle k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)} olarak verilir.

ve m = 0 {\displaystyle m=0} ,için digama fonksiyonu adı verilir;

k ( ψ ( k z ) − log ⁡ ( k ) ) = ∑ n = 0 k − 1 ψ ( z + n k ) . {\displaystyle k(\psi (kz)-\log(k))=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).}

Seri gösterimi

Poligama fonksiyonu seri gösterimi

ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) m + 1 m ! ∑ k = 0 ∞ 1 ( z + k ) m + 1 {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}}

m > 0 ve z herhangi bir negatif tam sayıya eşit olmamalıdır. Bu gösterimde Hurwitz zeta fonksiyonu'nun içinde bulunduğu daha sağlam bir şekilde yazılımı

ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) m + 1 m ! ζ ( m + 1 , z ) . {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z).}

Karşıt olarak, Hurwitz zeta da değerler tam sayı olmak zorunda değildir. bazı seriler poligama fonksiyonunun çıkarılmasına izin verir. Schlömilch tarafından verilen,

1 / Γ ( z ) = z e γ z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) e − z / n {\displaystyle 1/\Gamma (z)=z\;{\mbox{e}}^{\gamma z}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\;{\mbox{e}}^{-z/n}} . Bu sonuç Weierstrass faktörizasyon teoremidir.

Böylece gama fonksiyonunu tanımlayabiliriz:

Γ ( z ) = e − γ z z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) − 1 e z / n {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {{\mbox{e}}^{-\gamma z}}{z}}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}\;{\mbox{e}}^{z/n}}

Böylece,gama fonksiyonunun doğal logaritma'sının basitçe gösterimi:

ln ⁡ Γ ( z ) = − γ z − ln ⁡ ( z ) + ∑ n = 1 ∞ ( z n − ln ⁡ ( 1 + z n ) ) {\displaystyle \ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln(z)+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n}}-\ln(1+{\frac {z}{n}})\right)}

Poligama fonksiyonunu bir toplam gösterimi sonuç olarak ψ ( n ) ( z ) = d n + 1 d z n + 1 ln ⁡ Γ ( z ) = − γ δ n 0 − ( − 1 ) n n ! z n + 1 + ∑ k = 1 ∞ 1 k δ n 0 − ( − 1 ) n n ! ( k + z ) n + 1 {\displaystyle \psi ^{(n)}(z)={\frac {d^{n+1}}{dz^{n+1}}}\ln \Gamma (z)=-\gamma \delta _{n0}\;-\;{\frac {(-1)^{n}n!}{z^{n+1}}}\;+\;\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\delta _{n0}\;-\;{\frac {(-1)^{n}n!}{(k+z)^{n+1}}}} şeklinde verilebilir.

Burada δ n 0 {\displaystyle \delta _{n0}} Kronecker delta'sıdır.

Taylor serisi

Burada Taylor serisi z = 1 değeri için

ψ ( m ) ( z + 1 ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) m + k + 1 ( m + k ) ! ζ ( m + k + 1 ) z k k ! , {\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}},}

ve |z| < 1 yakınsak seridir. Burada, ζ Riemann zeta fonksiyonu'dur. Buradan Hurwitz zeta fonksiyonuna karşılık gelen Taylor serisi kolaylıkla elde edilebilir ; Bu seri rasyonel zeta serisi elde edebilmek için kullanılabilir.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 978-0-486-61272-0 . See section §6.4 2 Eylül 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.