Proprietà dell'intersezione finita

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La proprietà dell'intersezione finita in topologia è una proprietà di alcune famiglie non vuote di insiemi non vuoti.

Definizione

Sia H {\displaystyle {\mathcal {H}}} una famiglia non vuota di insiemi non vuoti, si dice che H {\displaystyle {\mathcal {H}}} ha la proprietà dell'intersezione finita (PIF) se per ogni sottoinsieme finito { A 1 , . . . , A n } ⊆ H {\displaystyle \{\mathrm {A} _{1},...,\mathrm {A} _{n}\}\subseteq {\mathcal {H}}} si ha che A 1 ∩ . . . ∩ A n ≠ ∅ {\displaystyle \mathrm {A} _{1}\cap ...\cap \mathrm {A} _{n}\neq \emptyset } .

Teoremi e risultati

Dato X ≠ ∅ {\displaystyle \mathrm {X} \neq \emptyset } , sia H ⊂ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {H}}\subset {\mathfrak {P}}(\mathrm {X} )} una famiglia di sottoinsiemi di X {\displaystyle \mathrm {X} } . Se H {\displaystyle {\mathcal {H}}} ha la PIF, allora l'insieme F = { A ⊆ X : ∃ A 1 , . . . , A n ∈ H : A 1 ∩ . . . ∩ A n ⊆ A } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\mathrm {A} \subseteq \mathrm {X} :\exists \mathrm {A} _{1},...,\mathrm {A} _{n}\in {\mathcal {H}}:\mathrm {A} _{1}\cap ...\cap \mathrm {A} _{n}\subseteq \mathrm {A} \}} è un filtro su X {\displaystyle \mathrm {X} }

Lemma dell'ultrafiltro

Dato X ≠ ∅ {\displaystyle \mathrm {X} \neq \emptyset } , sia H ⊂ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {H}}\subset {\mathfrak {P}}(\mathrm {X} )} una famiglia di sottoinsiemi di X {\displaystyle \mathrm {X} } con la PIF, allora H {\displaystyle {\mathcal {H}}} è contenuto in un ultrafiltro.

La proprietà dell'intersezione finita viene usata nelle dimostrazioni di alcuni risultati come il teorema di compattezza semantica.

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