Germe di funzione

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In matematica, un germe di funzione (continua, differenziabile o analitica) è una classe di equivalenza di funzioni (continue. differenziabili o analitiche) da uno spazio topologico a un altro (spesso dalla retta reale a se stessa), raggruppate insieme sulla base della loro uguaglianza sull'intorno di un punto fissato sul loro dominio di definizione. Allo stesso modo, un germe di insiemi è una classe di equivalenza di sottoinsiemi di un dato spazio topologico, raggruppati insieme sulla base della loro uguaglianza sull'intorno di un punto fissato appartenente alla loro intersezione.

Definizione formale

Due funzioni f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g} tra lo stesso spazio topologico X {\displaystyle X} e un insieme Y {\displaystyle Y} si dicono equivalenti vicino a un punto x {\displaystyle x} nel loro dominio, se esiste un intorno aperto U {\displaystyle U} di x {\displaystyle x} in X {\displaystyle X} su cui coincidono, cioè

f ( x ′ ) = g ( x ′ ) ∀ x ′ ∈ U ⟺ f | U = g | U ⟺ f ∼ x g . {\displaystyle f(x')=g(x')\quad \forall x'\in U\iff f|_{U}=g|_{U}\iff f\sim _{x}g.}

Questa è una relazione di equivalenza sullo spazio Y X = Hom ( X , Y ) {\displaystyle Y^{X}={\mbox{Hom}}(X,Y)} delle mappe tra X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} . Per la dimostrazione, è sufficiente notare che l'uguaglianza è usata nella sua definizione: allora la riflessività e la simmetria sono conseguenze immediate. Per la transitività, date le funzioni f , g , h {\displaystyle f,g,h} tali che f = g {\displaystyle f=g} su U {\displaystyle U} e g = h {\displaystyle g=h} su V {\displaystyle V} , allora f = g = h {\displaystyle f=g=h} su U {\displaystyle U} ∩ V {\displaystyle V} .

Le singole classi di equivalenza si dicono germi di funzioni nel punto x {\displaystyle x} e saranno della forma

[ f ] x = { g ∈ Y X ∣ f ∼ x g } . {\displaystyle [f]_{x}=\left\{g\in Y^{X}\mid f\sim _{x}g\right\}.}

Lo spazio dei germi di funzioni si dice una fibra di funzioni in x {\displaystyle x} .

Bibliografia

  • Nicolas Bourbaki, General Topology. Chapters 1-4, paperback ed., Springer-Verlag, 1989, ISBN 3-540-64241-2.
  • Raghavan Narsimhan, Analysis on Real and Complex Manifolds, 2nd ed., chapter 2, paragraph 2.1, "Basic Definitions"., North-Holland Elsevier, 1973, ISBN 0-7204-2501-8.
  • Robert C. Gunning and Hugo Rossi, Analytic Functions of Several Complex Variables, Prentice-Hall, 1965.
  • Giuseppe Tallini, Varietà differenziabili e coomologia di De Rham (Differentiable manifolds and De Rham cohomology), Edizioni Cremonese, 1973, ISBN 88-7083-413-1.

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • Evgeniǐ Mikhaǐlovich Chirka "Germ", Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics.
  • "Germ of smooth functions Archiviato il 24 giugno 2008 in Internet Archive.", Planetmath.org Encyclopedia.
  • Dorota Mozyrska, Zbigniew Bartosiewicz"Systems of germs and theorems of zeros in infinite-dimensional spaces", arxiv.org e-Prints server (Primary site at Cornell University).
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