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解析学 |
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![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Fundamental_Theorem_of_Calculus.svg/200px-Fundamental_Theorem_of_Calculus.svg.png) |
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| 収束判定法(英語版) |
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- 項の極限(項判定法)(英語版)
- 比
- 冪根
- 積分
- 比較
極限比較(英語版) - 交代級数(英語版)
- 凝集
- ディリクレ
- アーベル(英語版)
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数学において、ディリクレの判定法(ディリクレのはんていほう、英: Dirichlet's test)は、級数の収束判定法の一つである。名称はこれを記述したペーター・グスタフ・ディリクレにちなんでいるが、発表されたのは彼の死後、1862年の "Journal de Mathématiques Pures et Appliquées(英語版、フランス語版)" においてであった[1]。
主張
実数列
と複素数列
が次の条件
![{\displaystyle a_{n+1}\leq a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02713e1514bdb8004c9c47d119dafbb2d0499179)
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d7b1e35359928f755f4b2e11910157bf977816d)
- ある定数
があり、全ての正の整数 N に対して ![{\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ad87aaef6dc6c7f3a52c1dfcd5b7c7fbddbe2e)
を満たすならば、級数
は収束する。
証明
、
とおく。
部分和分法により
と変形できる。
は絶対値が M で抑えられていて
なので、第1項は0に収束する:
(
)
一方
は非増加数列なので
は任意の k に対し非負であり、
となるが、
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}M(a_{k}-a_{k+1})=M\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1})=M(a_{1}-a_{n+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb19ffbbc0d9ab422686192fe9185291fdaee549)
であるから、
は
のとき
に収束する。
よって比較判定法により
もまた収束する。級数
は絶対収束するから自身もまた収束する。
以上より
が収束することが言えた。
応用
![{\displaystyle b_{n}=(-1)^{n}\Rightarrow \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba1210178ceaff5345b8d3819e654a12397b7ea7)
- とした特別な場合が交代級数判定法(英語版)である。
が減少して0に収束する実数列であれば、
は常に収束する。
- アーベルの判定法(英語版)はディリクレの判定法の特別な場合だと見なせる。
広義積分
広義積分の収束に対しても類似した命題が成り立つ。実軸の非有界区間で定義された関数 f と g があって、f は任意の積分範囲での積分値の絶対値がある定数で一様に(積分範囲に依らず)上から抑えられていて、g は非負値かつ単調非増加のとき、fg の広義積分は収束する。
脚注
- ^ Démonstration d’un théorème d’Abel. Journal de mathématiques pures et appliquées 2nd series, tome 7 (1862), p. 253-255.
参考文献
- Hardy, G. H., A Course of Pure Mathematics, Ninth edition, Cambridge University Press, 1946. (pp. 379–380).
- Voxman, William L., Advanced Calculus: An Introduction to Modern Analysis, Marcel Dekker, Inc., New York, 1981. (§8.B.13-15) ISBN 0-8247-6949-X.
外部リンク