平衡素数(英: balanced prime)は素数であって、1つ前の素数と1つ後の素数の算術平均に等しいものである。代数的に言えば、小さい順に並べたときの n 番目の素数を とすると、 が平衡素数であるとは次が成り立つことである。
平衡素数を小さい順にいくつか列挙すると、
5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103 オンライン整数列大辞典の数列 A006562.
例えば、53は16番目の素数である。15番目と17番目の素数である47と59を足すと106になり、その半分は53なので、53は平衡素数である。
仮に1を素数であると考えれば、それに応じて2が最初の平衡素数と考えられる。なぜならば
だからである。平衡素数は無限に多く存在すると予想されている。
等差数列における3つの連続した素数は、CPAP-3 と呼ばれることがある。平衡素数は定義によって CPAP-3 の2番目の素数である。2014年現在、CPAP-3として知られている最も大きなものは 10546 桁のものであり、David Broadhurst によって発見された[1]。
n の値は知られていない。
関連した概念
素数が、その1つ前の素数と1つ後の素数の算術平均よりも大きい場合、強素数(英語版)(strong prime)と呼ばれる。逆に小さい場合は、弱素数(weak prime)と呼ばれる。
位数 n の平衡素数
位数 n の平衡素数(balanced prime of order n)とは、素数であって、それに近い上下 n 個ずつの素数の算術平均に等しいようなものである。代数的には、k 番目の素数 が平衡素数であるとは、次が成り立つことである。
前述の素数は位数 1 の平衡素数である。他の位数は 2 オンライン整数列大辞典の数列 A082077、3 オンライン整数列大辞典の数列 A082078、4 オンライン整数列大辞典の数列 A082079 で見られる。
脚注
- ^ The Largest Known CPAP's. Retrieved on 2014-06-13.
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生成式 | - フェルマー (22n + 1)
- メルセンヌ (2p − 1)
- 二重メルセンヌ (22p−1 − 1)
- ワグスタッフ ((2p + 1)/3)
- プロス (k·2n + 1)
- 階乗 (n! ± 1)
- 素数階乗 (pn# ± 1)
- ユークリッド (pn# + 1)
- ピタゴラス (4n + 1)
- ピアポント (2u·3v + 1)
- Quartan(英語版) (x4 + y4)
- ソリナス(英語版) (2a ± 2b ± 1)
- カレン (n·2n + 1)
- ウッダル (n·2n − 1)
- Cuban(英語版) ((x3 − y3)/(x − y))
- キャロル ((2n − 1)2 − 2)
- Kynea ((2n + 1)2 − 2)
- レイランド (xy + yx)
- サービト(英語版) (3·2n − 1)
- ミルズ ([A]3n)
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漸化式(英語版) | |
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各種の性質 | |
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基数依存 | - ハッピー
- 二面(英語版)
- 回文
- エマープ
- レピュニット ((10n − 1)/9)
- 置換可能
- Circular(英語版)
- 切り捨て可能
- Strobogrammatic(英語版)
- Minimal(英語版)
- 弱い
- フルサイクルプライム
- Unique(英語版)
- Primeval(英語版)
- 自己
- スマランダチェ–ウェラン(英語版)
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組 | - 互いに素
- 双子 (p, p + 2)
- Bi-twin chain (n − 1, n + 1, 2n − 1, 2n + 1, …)
- 三つ子 (p, p + 2 or p + 4, p + 6)
- 四つ子 (p, p + 2, p + 6, p + 8)
- k−Tuple
- いとこ (p, p + 4)
- セクシー (p, p + 6)
- 陳
- ソフィー・ジェルマン (p, 2p + 1)
- カニンガム鎖 (p, 2p ± 1, …)
- 安全 (p, (p − 1)/2)
- 算術数列(英語版) (p + an; n = 0, 1, …)
- 平衡 (p − n, p, p + n)
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桁数 | |
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関連する話題 | |
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素数の一覧 |