無限算術級数

数学における無限算術級数（むげんさんじゅつきゅうすう、英: infinite arithmetic series）は、その項が算術数列を成す無限級数を言う。1 + 1 + 1 + 1 + · · · や 1 + 2 + 3 + 4 + · · · はその例であるが、無限算術級数の一般形は

\sum _{n=0}^{\infty }(an+b)

と書ける。a = b = 0 のときは級数の和も 0 であるが、a, b のどちらかが非零ならば、級数は発散して通常の意味では和を持たない。

ゼータ正則化

正しい形 (the right form) での算術級数のゼータ正則化和は、対応するフルヴィッツゼータ函数の値として

\sum _{n=0}^{\infty }(n+\beta )=\zeta _{\text{H}}(-1;\beta )

で与えられる^{[注釈 1]}。ゼータ正則化和 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ は ζ_R(0) = −1/2 に、また 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ は ζ_R(−1) = −1/12 に（ゼータとしてはリーマンゼータ函数 ζ_R をとって）割り当てられるけれども、上記の和が

{\textstyle -{\frac {1}{12}}-{\frac {\beta }{2}}}

に等しいとは一般にはならない。

^ 一般形は ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }(an+b)=a\sum _{n=0}^{\infty }(n+(b/a))=a\zeta _{\text{H}}(-1;b/a)}$ と見なすと処理できる。

Brevik, I.; Nielsen, H. B. (February 1990). “Casimir energy for a piecewise uniform string”. Physical Review D 41 (4): 1185–1192. doi:10.1103/PhysRevD.41.1185.
Elizalde, E. (May 1994). “Zeta-function regularization is uniquely defined and well”. Journal of Physics A: Mathematical and General 27 (9): L299–L304. doi:10.1088/0305-4470/27/9/010. (arXiv preprint)
Li, Xinzhou; Shi, Xin; Zhang, Jianzu (July 1991). “Generalized Riemann ζ-function regularization and Casimir energy for a piecewise uniform string”. Physical Review D 44 (2): 560–562. doi:10.1103/PhysRevD.44.560.

発散級数	1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 無限算術級数

収束級数	1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
発散級数	1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ グランディ級数

その他の数列

発散級数	1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ 調和級数
収束級数	交項級数幾何級数超幾何級数 q超幾何級数ライプニッツの公式