百四十四角形(ひゃくよんじゅうよんかくけい、ひゃくよんじゅうよんかっけい、hecatotetracontatetragon)は、多角形の一つで、144本の辺と144個の頂点を持つ図形である。内角の和は25560°、対角線の本数は10152本である。
正百四十四角形
正百四十四角形においては、中心角と外角は2.5°で、内角は177.5°となる。一辺の長さが a の正百四十四角形の面積 S は
![{\displaystyle S=36a^{2}\cot {\frac {\pi }{144}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6d2ae27492a32e126aee1e9d9fdbed028a57611)
- 関係式
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{144}}+2\cos {\frac {98\pi }{144}}+2\cos {\frac {94\pi }{144}}=0\\&x_{2}=2\cos {\frac {14\pi }{144}}+2\cos {\frac {110\pi }{144}}+2\cos {\frac {82\pi }{144}}=0\\&x_{3}=2\cos {\frac {10\pi }{144}}+2\cos {\frac {86\pi }{144}}+2\cos {\frac {106\pi }{144}}=0\\&x_{4}=2\cos {\frac {70\pi }{144}}+2\cos {\frac {26\pi }{144}}+2\cos {\frac {122\pi }{144}}=0\\&x_{5}=2\cos {\frac {50\pi }{144}}+2\cos {\frac {142\pi }{144}}+2\cos {\frac {46\pi }{144}}=0\\&x_{6}=2\cos {\frac {62\pi }{144}}+2\cos {\frac {130\pi }{144}}+2\cos {\frac {34\pi }{144}}=0\\&x_{7}=2\cos {\frac {38\pi }{144}}+2\cos {\frac {134\pi }{144}}+2\cos {\frac {58\pi }{144}}=0\\&x_{8}=2\cos {\frac {22\pi }{144}}+2\cos {\frac {74\pi }{144}}+2\cos {\frac {118\pi }{144}}=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71c01f8a5afdde1561287c7411188aa55762d8a)
三次方程式の係数を求めると
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{144}}\cdot 2\cos {\frac {98\pi }{144}}+2\cos {\frac {98\pi }{144}}\cdot 2\cos {\frac {94\pi }{144}}+2\cos {\frac {94\pi }{144}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{144}}=-3\\&2\cos {\frac {2\pi }{144}}\cdot 2\cos {\frac {98\pi }{144}}\cdot 2\cos {\frac {94\pi }{144}}=2\cos {\frac {2\pi }{48}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b65a5181eafffe6e28510fdd908f8969d646a3d)
解と係数の関係より
![{\displaystyle u^{3}-3u-2\cos {\frac {2\pi }{48}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7e16c73d0f0a749d768161ae110e7351c6605cd)
三次方程式を解くと
![{\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{144}}=&{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{48}}+i\sin {\frac {2\pi }{48}}}}+{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{48}}-i\sin {\frac {2\pi }{48}}}}\\4\cos {\frac {2\pi }{144}}=&{\sqrt[{3}]{8\cos {\frac {2\pi }{48}}+i8\sin {\frac {2\pi }{48}}}}+{\sqrt[{3}]{8\cos {\frac {2\pi }{48}}-i8\sin {\frac {2\pi }{48}}}}\\4\cos {\frac {2\pi }{144}}=&{\sqrt[{3}]{4{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}+i\cdot 4{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}+{\sqrt[{3}]{4{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}-i\cdot 4{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7271a7845df4702dfc6e54eb33634f009bc99422)
を平方根と立方根で表すと
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{144}}={\frac {1}{4}}{\sqrt[{3}]{4{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}+i\cdot 4{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt[{3}]{4{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}-i\cdot 4{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac94fdd91c21800fc1c567511d4cdebd79972513)
正百四十四角形の作図
正百四十四角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正百四十四角形は折紙により作図可能である。
脚注
[脚注の使い方]
関連項目
外部リンク
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 | 六角形 | - 正六角形
- 円に内接する六角形
- 円に外接する六角形
- ルモワーヌの六角形(英語版)
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (selected) | |
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辺の数: 71–100 (selected) | |
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辺の数: 101– (selected) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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