Szereg potęgowy

Ten artykuł należy dopracować: od 2024-04 → poprawić styl – powinien być encyklopedyczny, od 2024-04 → dodać przypisy do treści niemających odnośników do źródeł. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Szereg potęgowy – w analizie matematycznej, szereg funkcyjny postaci^[1][2][3]

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\dots }$

lub^[4]

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}=a_{0}+a_{1}(z-z_{0})+a_{2}(z-z_{0})^{2}+\dots ,}$

przy czym współczynniki ${\displaystyle a_{n}}$ oraz stała ${\displaystyle z_{0}}$ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi^[4]. Zmienna ${\displaystyle z}$ także może być rzeczywista lub zespolona^[1]. Liczba ${\displaystyle z_{0}}$ nazywana jest środkiem szeregu.

Uważa się, że pierwszego zastosowania rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy dokonał James Stirling w 1717 roku^[5].

Zbieżność

 Zobacz też: Twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda.

Każdy szereg potęgowy jest bezwzględnie zbieżny dla wszystkich wartości ${\displaystyle z}$ należących do pewnego koła otwartego

${\displaystyle B_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<r\}}$

o środku w punkcie ${\displaystyle z_{0}}$ i rozbieżny poza jego domknięciem. Dla ${\displaystyle |z-z_{0}|=r,}$ szereg może być w pewnych punktach zbieżny a w innych rozbieżny. Liczbę ${\displaystyle r}$ nazywa się promieniem zbieżności szeregu, a koło ${\displaystyle B_{r}}$ – kołem zbieżności szeregu. Jeśli szereg potęgowy jest zbieżny dla każdej wartości ${\displaystyle z,}$ przyjmuje się, że promień ${\displaystyle r}$ jest nieskończenie wielki: ${\displaystyle r=\infty }$^[3].

W przypadku rzeczywistej zmiennej ${\displaystyle z,}$ koło ${\displaystyle B_{r}}$ stanowi przedział ${\displaystyle (z_{0}-r,z_{0}+r)}$ nazywany przedziałem zbieżności szeregu^[2].

Twierdzenie.^[6] Niech dany będzie szereg potęgowy ${\textstyle f\colon B_{r}(z_{0})\to \mathbb {C} }$, ${\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$ o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych. Oznaczmy

${\displaystyle r:={\frac {1}{\limsup \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}}}$

(przy czym ${\displaystyle r=0}$, gdy ${\textstyle \limsup \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\infty }$ i ${\displaystyle r=\infty }$, gdy ${\textstyle \limsup \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=0}$). Wówczas:

1. Szereg ten jest zbieżny jednostajnie na dowolnym kole ${\displaystyle {\overline {B_{c}(z_{0})}}}$, gdzie ${\displaystyle c<r}$, a ${\displaystyle {\overline {A}}}$ oznacza domknięcie zbioru.
2. Szereg ${\textstyle f'(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n(z-z_{0})^{n-1}}$ jest zbieżny jednostajnie na dowolnym kole ${\displaystyle {\overline {B_{c}(z_{0})}}}$, gdzie ${\displaystyle c<r}$.
3. Funkcja ${\displaystyle f}$ jest holomorficzna, a jej pochodna jest dana przez ${\displaystyle f'}$.

Dowód. (1) Niech ${\textstyle f_{N}\colon {\overline {B_{c}(0)}}\to \mathbb {C} }$,

${\displaystyle f_{N}(z)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}(z-z_{0})^{n}}$

dla ${\displaystyle N=1,2,\ldots }$. Wykazanie zbieżności jednostajnej jest równoważne z pokazaniem, że

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }||f-f_{N}||_{\infty }=0}$,

gdzie ${\displaystyle ||\cdot ||_{\infty }}$ oznacza normę supremum podanej funkcji na ${\textstyle {\overline {B_{c}(z_{0})}}}$.

${\displaystyle ||f-f_{N}||_{\infty }=\sup _{z\in {\overline {B_{r}(z_{0})}}}\left|\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}\right|=\sup _{z\in {\overline {B_{r}(z_{0})}}}\lim _{m\to \infty }\left|\sum _{n=N+1}^{m}a_{n}(z-z_{0})^{n}\right|}$.

Korzystając z nierówności trójkąta,

${\displaystyle \sup _{z\in {\overline {B_{r}(z_{0})}}}\lim _{m\to \infty }\left|\sum _{n=N+1}^{m}a_{n}(z-z_{0})^{n}\right|\leqslant \sup _{z\in {\overline {B_{r}(z_{0})}}}\lim _{m\to \infty }\sum _{n=N+1}^{m}|a_{n}|\cdot |z-z_{0}|^{n}\leqslant \sum _{n=N+1}^{\infty }|a_{n}|\cdot c^{n}}$,

ponieważ ${\displaystyle |z-z_{0}|\leqslant c}$. Aby pokazać, że całość zbiega do 0, należy skorzystać z nierówności ${\displaystyle c/r<1}$ oraz z faktu, że istnieje stała rzeczywista ${\displaystyle A>0}$ taka, że ${\displaystyle a_{n}/r^{n}\leqslant A}$.

${\displaystyle \sum _{n=N+1}^{\infty }|a_{n}|\cdot c^{n}=\sum _{n=N+1}^{\infty }|a_{n}|r^{n}\cdot (c/r)^{n}\leqslant A\sum _{n=N+1}^{\infty }(c/r)^{n}}$,

a ostatni szereg po prawej dąży do 0, gdy ${\displaystyle N\to \infty }$.

(2) Wystarczy zauważyć, że ${\displaystyle r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|(n+1)}}}$, więc dowód przebiega tak samo jak w części (1).

(3) Oznaczamy

${\displaystyle p_{N}(z)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}(z-z_{0})^{n}}$,

${\displaystyle q_{N}(z)=\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$.

Wówczas

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left|{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}-f'(z)\right|=\lim _{h\to 0}\left|{\frac {(p_{N}+q_{N})(z+h)-(p_{N}+q_{N})(z)}{h}}-f'(z)\right|}$

${\displaystyle \leqslant \lim _{h\to 0}\left|{\frac {p_{N}(z+h)+p_{N}(z)}{h}}-p'_{N}(z)\right|+\left|p'_{N}(z)-f'(z)\right|+\lim _{h\to 0}\left|{\frac {q_{N}(z+h)-q_{N}(z)}{h}}\right|}$.

Funkcja ${\displaystyle p'_{N}}$ dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle N}$ istnieje, ponieważ ${\displaystyle p_{N}}$ jest wielomianem. Pierwsze wyrażenie jest równe 0, ponieważ

${\displaystyle p_{N}'(z)=\lim _{h\to 0}{\frac {p_{N}(z+h)-p_{N}(z)}{h}}}$,

drugie dąży do 0 gdy ${\displaystyle N\to \infty }$, a ostatnie

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left|{\frac {q_{N}(z+h)-q_{N}(z)}{h}}\right|=\lim _{h\to 0}\left|{\frac {\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}((z+h-z_{0})^{n}-(z-z_{0})^{n})}{h}}\right|\leqslant \lim _{h\to 0}\sum _{n=N+1}^{\infty }|a_{n}|\cdot \left|{\frac {(z+h-z_{0})^{n}-(z-z_{0})^{n}}{h}}\right|}$.

Wyrażając różnicę ${\displaystyle (z+h-z_{0})^{n}-(z-z_{0})^{n}}$ przez wzór na różnicę n-tych potęg, można zastosować szacowanie

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\sum _{n=N+1}^{\infty }|a_{n}|\cdot \left|{\frac {(z+h-z_{0})^{n}-(z-z_{0})^{n}}{h}}\right|\leqslant \sum _{n=N+1}^{\infty }|a_{n}|n{\tilde {r}}^{n-1}}$,

gdzie ${\displaystyle {\tilde {r}}}$ jest odpowiednim promieniem zbieżności. Ostatni szereg dąży do 0, gdy ${\displaystyle N\to \infty }$, więc całe wyrażenie dąży do 0.

Powyższy wzór należy rozumieć następująco:

• jeśli ${\displaystyle \limsup \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\infty ,}$ to ${\displaystyle r=0}$ i szereg jest zbieżny jedynie dla ${\displaystyle z=z_{0},}$
• jeśli natomiast ${\displaystyle \limsup \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=0,}$ to ${\displaystyle r=\infty }$ i szereg jest zbieżny dla wszystkich ${\displaystyle z\in \mathbb {C} .}$

Inny wzór na wartość promienia zbieżności szeregu wyraża kryterium d'Alemberta:

${\displaystyle r={\frac {1}{\lim \limits _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}}.}$

Wzór ten można stosować jedynie wtedy, gdy powyższa granica istnieje.

Szereg potęgowy jest jednostajnie zbieżny na dowolnym zwartym podzbiorze koła zbieżności. Wynika stąd natychmiast, że szereg potęgowy przedstawia funkcję ciągłą wewnątrz koła zbieżności. Dwa szeregi przedstawiają tę samą funkcję wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe wszystkie współczynniki przy tych samych potęgach dwumianu ${\displaystyle (z-z_{0}).}$

Problem zbieżności szeregu potęgowego na brzegu koła zbieżności jest subtelny i nie daje się rozwiązać w przypadku ogólnym. Hugo Steinhaus podał przykład szeregu, który przedstawia funkcję nieciągłą w zbiorze wszędzie gęstym w brzegu koła.

Działania na szeregach potęgowych

Niech szeregi

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$

i

${\displaystyle g(z)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(z-z_{0})^{n}}$

będą zbieżne w swoich kołach zbieżności.

Dodawanie i odejmowanie

Przy powyższych oznaczeniach funkcję ${\displaystyle u\cdot f(z)+v\cdot g(z)}$ przedstawiał będzie szereg

${\displaystyle f(z)\pm g(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(z-z_{0})^{n}}$

zbieżny w mniejszym z kół zbieżności.

Mnożenie i dzielenie

Iloczynem Cauchy’ego określonych wyżej szeregów nazywamy szereg

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}(z-z_{0})^{n}.}$

Dla argumentów z mniejszego koła zbieżności szereg jest zbieżny bezwzględnie i kolejność sumowania wyrazów nie ma znaczenia, dlatego powyższą sumę można też zapisać jako

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(z-z_{0})^{i+j}.}$

Zauważmy teraz, że w przypadku dzielenia szeregów (tam gdzie jest ono wykonalne) mamy:

${\displaystyle {\frac {f(z)}{g(z)}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(z-z_{0})^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}.}$

Dla wyznaczenia współczynników ${\displaystyle c_{n}}$ wystarczy napisać

${\displaystyle f(z)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(z-z_{0})^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}\right),}$

skąd przez wymnożenie, porównanie współczynników szeregów po obu stronach i wykorzystanie ich jednoznaczności otrzymamy ${\displaystyle c_{n}.}$

Całkowanie i różniczkowanie

Z własności szeregu potęgowego wynika bezpośrednio (patrz: szereg funkcyjny), że jego suma jest funkcją różniczkowalną i całkowalną w sensie Riemanna we wnętrzu koła zbieżności tego szeregu. Co więcej, zarówno pochodną, jak i całkę tej funkcji można otrzymać różniczkując lub całkując szereg wyraz po wyrazie,

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}\right)'=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n(z-z_{0})^{n-1}}$

oraz

${\displaystyle \int \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}\,dz=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}(z-z_{0})^{n+1}}{n+1}}+C.}$

Obydwa szeregi po prawej stronie równości są zbieżne w tym samym kole zbieżności co szereg wyjściowy.

Funkcje analityczne

Z szeregami potęgowymi zmiennej zespolonej ściśle związane są funkcje analityczne. Każda funkcja analityczna daje się lokalnie – czyli w pewnym otoczeniu dowolnego punktu swej dziedziny – przedstawić szeregiem potęgowym i na odwrót, każdy szereg potęgowy jest funkcją analityczną we wnętrzu swego koła zbieżności. Klasa funkcji analitycznych w pewnym obszarze tworzy pierścień, to znaczy suma i iloczyn funkcji analitycznych jest również funkcją analityczną. Iloraz funkcji analitycznych jest funkcją analityczną o ile mianownik nie przyjmuje w danym obszarze wartości zerowych.

Każda zespolona funkcja analityczna jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna w swej dziedzinie, a współczynniki ${\displaystyle a_{n}}$ jej rozwinięcia w szereg w otoczeniu dowolnego punktu ${\displaystyle z_{0}}$ są dane wzorem:

${\displaystyle a_{n}={\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}},}$

gdzie ${\displaystyle f^{(n)}(z_{0})}$ oznacza ${\displaystyle n}$-tą pochodną ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle z_{0}.}$ Oznacza to, że każda funkcja analityczna daje się lokalnie przedstawić swoim szeregiem Taylora.

Powyższe uwagi nie dotyczą funkcji zmiennej rzeczywistej – tutaj funkcja, która jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna może nie dać przedstawić się szeregiem potęgowym.

Zauważmy też, że jeśli dwie funkcje analityczne zmiennej zespolonej są określone w tym samym obszarze, a ich wszystkie pochodne są równe w pewnym punkcie tego obszaru, to obie funkcje są sobie równe w całym obszarze.

Formalne szeregi potęgowe

Pojęcie szeregu potęgowego zostało przeniesione do algebry pod postacią formalnego szeregu potęgowego nad danym ciałem. Ich badanie ma wielkie znaczenie dla kombinatoryki, gdzie występują pod postacią funkcji tworzących.

Szereg potęgowy wielu zmiennych

Kolejnym uogólnieniem teorii szeregów potęgowych jednej zmiennej jest teoria szeregów wielu zmiennych. Szereg potęgowy wielu zmiennych definiujemy następująco:

${\displaystyle f(z_{1},\dots ,z_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(z_{k}-c_{k}\right)^{j_{k}},}$

gdzie ${\displaystyle j=(j_{1},\dots ,j_{n})}$ jest układem liczb naturalnych, współczynniki ${\displaystyle a_{(j_{1},\dots ,j_{n})}}$ są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, a ${\displaystyle c=(c_{1},\dots ,c_{n})}$ oraz ${\displaystyle z=(z_{1},\dots ,z_{n})}$ są punktami ${\displaystyle n}$-wymiarowej rzeczywistej lub zespolonej przestrzeni euklidesowej.

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Power Series, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-09-01].
• Power series (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-09-01].