Wielomian nieprzywiedlny

Zobacz też: wielomian nierozkładalny.

Wielomian nieprzywiedlny – wielomian dodatniego stopnia (o współczynnikach z pierścienia całkowitego), który nie daje się przedstawić jako iloczyn dwóch wielomianów dodatniego stopnia (o współczynnikach ze wspomnianego pierścienia)^[1]. Wielomiany, które nie są nieprzywiedlne nazywa się przywiedlnymi.

Dostrzeżenie nieprzywiedlnych wielomianów stopnia wyższego niż jeden o współczynnikach całkowitych było impulsem do badań nad liczbami algebraicznymi, czyli pierwiastkami wielomianów o współczynnikach wymiernych.

Definicja

Wielomian ${\displaystyle \mathrm {f} }$ dodatniego stopnia^[a] (jednej zmiennej) o współczynnikach z pierścienia całkowitego ${\displaystyle R}$ nazywa się nieprzywiedlnym w ${\displaystyle R,}$ jeżeli nie istnieją wielomiany ${\displaystyle \mathrm {g} ,\mathrm {h} }$ dodatniego stopnia o współczynnikach z ${\displaystyle R,}$ dla których ${\displaystyle \mathrm {f} =\mathrm {gh} }$^[2].

Własności i przykłady

Wielomiany stopnia pierwszego są nieprzywiedlne w każdym pierścieniu wprost z definicji^[3].

W przypadku gdy pierścień współczynników wielomianów tworzy ciało (np. liczb wymiernych, rzeczywistych, czy zespolonych), pojęcie rozkładalności/nierozkładalności w pierścieniu wielomianów pokrywa się z pojęciem przywiedlności/nieprzywiedlności w pierścieniu współczynników. W przypadku ogólnym, gdy pierścień współczynników jest pierścieniem całkowitym, pojęcia te są istotnie różne. Przykładowo wielomian ${\displaystyle 6x+2}$ zmiennej ${\displaystyle x}$ o współczynnikach całkowitych jest nieprzywiedlny w tym pierścieniu (jako wielomian pierwszego stopnia), lecz rozkładalny w pierścieniu wielomianów o współczynnikach całkowitych na dwa wielomiany nieodwracalne w tym pierścieniu wielomianów^[b]: ${\displaystyle 2}$ oraz ${\displaystyle 3x+1}$^[3].

Wielomian nieprzywiedlny w danym ciele (pierścieniu), może być przywiedlny w jego rozszerzeniu (przywiedlność nie jest zatem własnością niezmienniczą rozszerzeń^[4]), przykładowo wielomian ${\displaystyle x^{2}-2}$ jest nieprzywiedlny w pierścieniu liczb całkowitych (jak również liczb wymiernych), choć jest przywiedlny w ciele liczb rzeczywistych, gdyż ${\displaystyle x^{2}-2=(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}}).}$

Jeśli ciało współczynników jest algebraicznie domknięte, wielomiany pierwszego stopnia są jedynymi wielomianami nieprzywiedlnymi w tym ciele; na odwrót: jeżeli wielomiany pierwszego stopnia są jedynymi wielomianami nieprzywiedlnymi w danym ciele, to jest ono algebraicznie domknięte^[5].

Zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Stąd dowolny wielomian co najmniej drugiego stopnia jest przywiedlny w ciele liczb zespolonych (rozkładalny w pierścieniu wielomianów o współczynnikach zespolonych). W szczególności nieprzywiedlny w ciele liczb rzeczywistych wielomian ${\displaystyle x^{2}+1}$ zmiennej ${\displaystyle x}$ jest przywiedlny w ciele liczb zespolonych, ponieważ ${\displaystyle x^{2}+1=(x+i)(x-i)}$^[3], gdzie jednym z pierwiastków tego wielomianu jest jednostka urojona.

Zobacz też

• kryterium Eisensteina
• twierdzenie Gaussa

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2004. ISBN 978-83-89020-35-2.

Literatura dodatkowa

• Jerzy Browkin: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna.brak strony w książce