Twierdzenie Caseya

Twierdzenie Caseya – twierdzenie geometrii euklidesowej, będące uogólnieniem twierdzenia Ptolemeusza, nazwane na cześć irlandzkiego matematyka Johna Caseya^[1] .

Wypowiedź twierdzenia

Niech ${\displaystyle O}$ będzie okręgiem o promieniu ${\displaystyle R.}$ Niech ${\displaystyle O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}}$ będą (w tej kolejności) czterema okręgami zawierającymi się i stycznymi od wewnątrz do okręgu ${\displaystyle O.}$ Oznaczmy przez ${\displaystyle t_{ij}}$ długość odcinka zawartego pomiędzy punktami styczności na stycznej zewnętrznej do okręgów ${\displaystyle O_{i},O_{j}.}$ Wtedy zachodzi^[1] :

${\displaystyle t_{12}\cdot t_{34}+t_{41}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.}$

(1)

Zauważmy, że gdy okręgi degenerują się do punktów, twierdzenie to przybiera postać twierdzenia Ptolemeusza.

Dowód

Elementarny dowód tego twierdzenia pochodzi z pracy Zachariasa^[2] [3] . Oznaczmy promień okręgu ${\displaystyle O_{i}}$ przez ${\displaystyle R_{i},}$ a jego punkt styczności z okręgiem ${\displaystyle O}$ przez ${\displaystyle K_{i}.}$ Środki okręgów będziemy oznaczali przez ${\displaystyle O}$ oraz ${\displaystyle O_{i}.}$ Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że

${\displaystyle t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}.}$

(1a)

Będziemy chcieli wyrazić prawą stronę tej równości przy użyciu punktów ${\displaystyle K_{i},K_{j},}$ by móc zastosować twierdzenie Ptolemeusza. Z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta ${\displaystyle O_{i}OO_{j}}$ wynika, że

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}={\overline {OO_{i}}}^{2}+{\overline {OO_{j}}}^{2}-2{\overline {OO_{i}}}\cdot {\overline {OO_{j}}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}}$

(1b)

Ponieważ okręgi ${\displaystyle O,O_{i}}$ są do siebie styczne, zachodzi

${\displaystyle \angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j},}$

a ponieważ są styczne wewnętrznie

${\displaystyle {\overline {OO_{i}}}=R-R_{i}.}$

Łatwo również zauważyć, że kąty ${\displaystyle \angle K_{i}CK_{j}}$ i ${\displaystyle \angle K_{i}OK_{j}}$ to, odpowiednio, kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym samym łuku ${\displaystyle K_{i}K_{j}.}$ Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym wynika, że

${\displaystyle \angle K_{i}CK_{j}=2\angle K_{i}OK_{j}}$

Niech ${\displaystyle C}$ będzie punktem na okręgu ${\displaystyle O.}$ Z twierdzenia sinusów w trójkącie ${\displaystyle K_{i}CK_{j}{:}}$

${\displaystyle {\overline {K_{i}K_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}}$

Zatem

${\displaystyle \cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}}$

podstawiając je do wzoru (1b):

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)}$

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}$

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}$

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R_{i}-R_{j})^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}$

Ostatecznie, długość której szukamy, to

${\displaystyle t_{ij}={\sqrt {{\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}.}$

(1c)

Możemy teraz obliczyć ile wynosi lewa strona równania (1); wymnażając wartości ${\displaystyle t_{ij}}$ oraz używając oryginalnego twierdzenia Ptolemeusza, zastosowanego do wpisanego czworokąta ${\displaystyle K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}}$ otrzymujemy:

${\displaystyle {\begin{aligned}&t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}\\[1ex]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{2}}}\cdot {\overline {K_{3}K_{4}}}+{\overline {K_{1}K_{4}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{3}}}\right)\\[1ex]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{3}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{4}}}\right)\\[1ex]={}&t_{13}t_{24},\end{aligned}}}$

co było do okazania.

Uogólnienia i uwagi

Łatwo wyobrazić sobie przypadek, gdy nie wszystkie z czterech mniejszych okręgów są styczne wewnętrznie. Twierdzenie powyższe, z drobną modyfikacją, pozostaje prawdziwe dla okręgów stycznych zarówno wewnętrznie, jak i zewnętrznie^[4]:

Jeśli ${\displaystyle O_{i},O_{j}}$ są oba styczne z tej samej strony ${\displaystyle O}$ (tj. oba zewnętrznie lub oba wewnętrznie), to ${\displaystyle t_{ij}}$ jest długością odcinka stycznej zewnętrznej zawartego pomiędzy punktami styczności.

Jeśli zaś ${\displaystyle O_{i},O_{j}}$ są styczne z różnych stron ${\displaystyle O}$ (jeden zewnętrznie, a drugi wewnętrznie), to ${\displaystyle t_{ij}}$ jest długością odcinka stycznej wewnętrznej zawartego pomiędzy punktami styczności.

Tok dowodu podanego powyżej pozostaje taki sam, poza zmianą dwóch wielkości: jeśli okrąg ${\displaystyle O_{i}}$ jest styczny zewnętrznie do ${\displaystyle O,}$ to oczywiście

${\displaystyle {\overline {OO_{i}}}=R+R_{i}.}$

Oprócz tego, gdy ${\displaystyle O_{i},O_{j}}$ są styczne po przeciwnych stronach okręgu ${\displaystyle O}$ (ponownie załóżmy, że ${\displaystyle O_{i}}$ jest styczny zewnętrznie, a ${\displaystyle O_{j}}$ wewnętrznie), to długość odcinka ${\displaystyle t_{ij}}$ (1a) spełnia wtedy zależność

${\displaystyle t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}+R_{j})^{2},}$

co po analogicznych przekształceniach daje

${\displaystyle t_{ij}={\frac {{\sqrt {R+R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}.}$

Gdy z kolei oba okręgi ${\displaystyle O_{i},O_{j}}$ są styczne zewnętrznie, to odcinek styczny ponownie spełnia zależność (1a), a jego długość wynosi

${\displaystyle t_{ij}={\frac {{\sqrt {R+R_{i}}}\cdot {\sqrt {R+R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}.}$

Ostatecznie więc, dla dwóch okręgów ${\displaystyle O_{i},O_{j},}$ stycznych, w tej kolejności, do ${\displaystyle O}$ w dowolny sposób zmodyfikowana długość odcinka ${\displaystyle t_{ij}}$ (1c) wynosi

${\displaystyle t_{ij}={\frac {{\sqrt {R\pm R_{i}}}\cdot {\sqrt {R\pm R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}},}$

gdzie znak w wyrażeniach ${\displaystyle R\pm R_{i}}$ zależy od tego, czy okrąg ${\displaystyle O_{i}}$ jest styczny wewnętrznie (-), czy zewnętrznie (+).

Twierdzenie odwrotne

Należy również zauważyć, że twierdzenie odwrotne do twierdzenia Caseya jest prawdziwe. Jeśli zachodzi równość (1), to okręgi dane są styczne. Co więcej, prawdziwe jest mocniejsze twierdzenie^[5][6] :

Niech dane będą cztery okręgi ${\displaystyle O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}.}$ Dla pewnych odcinków stycznych (wewnętrznych lub zewnętrznych) ${\displaystyle t_{ij}}$ pomiędzy okręgami ${\displaystyle O_{i},O_{j}}$ zachodzi

${\displaystyle t_{12}t_{34}\pm t_{23}t_{41}\pm t_{13}t_{24}=0,}$

(3)

wtedy i tylko wtedy, gdy okręgi te są w tej kolejności styczne do pewnego okręgu ${\displaystyle O.}$ Ponadto, rodzaj odcinków stycznych użytych w (3) określa jak okręgi te są styczne:

• jeśli wszystkie odcinki styczne są zewnętrzne, to wszystkie okręgi ${\displaystyle O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}}$ są styczne w ten sam sposób do ${\displaystyle O}$ (albo wszystkie wewnętrznie, albo wszystkie zewnętrznie),
• jeśli odcinki styczne wychodzące z jednego z okręgów są innego rodzaju niż pozostałe trzy, to okrąg ten jest styczny w inny sposób, niż pozostałe trzy,
• jeśli okręgi ${\displaystyle O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}}$ można podzielić w pary tak, by odcinki styczne pomiędzy okręgami w każdej z par są odcinkami stycznymi zewnętrznymi, a pomiędzy okręgami różnych par – zewnętrznymi, to okręgi w parach są tak samo styczne do okręgu ${\displaystyle O.}$

Zastosowania

Twierdzenie Caseya i twierdzenie doń odwrotne jest używane do dowodzenia wielu twierdzeń z geometrii euklidesowej. Najkrótszym znanym dowodem twierdzenia Feuerbacha jest użycie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Caseya^[1] [7] . Wykorzystanie twierdzenie Caseya znaleźć można również w jednej z japońskich zagadek rysunkowych sangaku z 1874 roku^[8] [9] .

Przypisy

Bibliografia

• O. Bottema: Topics in Elementary Geometry. Springer, 2008.
• M. Zacharias. Der Caseysche Satz. „Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung”. 52, s. 79–89, 1942. 
• John Casey. „Math. Proc. R. Ir. Acad.”. 9. s. 396. 
• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry (dawn. Modern Geometry). Nowy York: Dover, 1960.
• Henryk Pawłowski, Joanna Zakrzewska: O pewnym uogólnieniu Twierdzenia Ptolemeusza. W: Matematyka. Poszukuję - odkrywam. Zeszyt 1. Kraków: Wydawnictwo Szkole Omega, 2010, s. 13–24.
• Tony Rothman, Hidetoshi Fukagawa. Japanese temple geometry. „Scientific American”, s. 84–91, maj 1998. 
• Anna Dymek. Japońska geometria świątynna. „Delta”, maj 2012. 
• Shailesh Shirali: On a generalized Ptolemy Theorem.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Casey’s Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-14]  (ang.).