Axiomas de probabilidade

Teoria das probabilidades
Axiomas de probabilidade
Espaço de probabilidade Espaço amostral Evento primário Evento Variável aleatória Medida de probabilidade
Evento complementar Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade conjunta Probabilidade marginal Probabilidade condicional
Independência Independência condicional Lei da probabilidade total Lei dos grandes números Teorema de Bayes Desigualdade de Boole
Diagrama de Venn Diagrama de árvore
v d e

Os axiomas da probabilidade ou os axiomas de Kolmogorov são uma definição geralmente usada para se referir para as três propriedades de uma série de subconjuntos de ${\displaystyle S}$, chamado de ${\displaystyle \sigma }$-álgebra (pronuncia-se sigma-álgebra ou campo de Borel), denotado por ${\displaystyle \mathbb {B} \,}$, se ${\displaystyle \mathbb {B} \,}$ satisfaz às propriedades:

• ${\displaystyle \emptyset }$ ∈ ${\displaystyle \mathbb {B} \,}$ (o conjunto vazio é um elemento de ${\displaystyle \mathbb {B} \,}$);
• Se ${\displaystyle A}$ ∈ ${\displaystyle \mathbb {B} \,}$;
• Se A₁, A₂, ... ∈ ${\displaystyle \mathbb {B} \,}$.^[1].

Na teoria da probabilidade de Kolmogorov, a probabilidade ${\displaystyle P}$ de algum evento ${\displaystyle E}$, denotado por ${\displaystyle P(E)}$, geralmente é definida tal que ${\displaystyle P}$ satisfaz os axiomas de Kolmogorov. O termo é em homenagem ao famoso matemático russo Andrey Kolmogorov, que são descritos abaixo.^[2]

Essas premissas podem ser resumidas como: seja (Ω, F, P) um espaço de medida intervalo com P (Ω) = 1. Então (Ω, F, P) é um espaço de probabilidade, com espaço amostral Ω, espaço de evento F e medida de probabilidade P. Uma abordagem alternativa para formalizar a probabilidade, favorecido por alguns Bayesianos, é dado pelo Teorema de Cox.

Axiomas

Primeiro axioma

A probabilidade de um evento é um número real não negativo:

${\displaystyle P(E)\in \mathbb {R} ,P(E)\geq 0\qquad \forall E\in {\mathcal {F}}}$

Onde ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ é o espaço de evento (${\displaystyle \sigma }$-álgebra). Em particular, ${\displaystyle P(E)}$ é sempre finito, em contraste com mais geral da Teoria da Medida. As teorias que atribuem probabilidade negativa relaxam o primeiro axioma.

Segundo axioma

Este é o pressuposto da unidade de medida: é que a probabilidade de que algum evento elementar em todo o espaço da amostra irá ocorrer é 1. Mais especificamente, não há eventos elementares fora do espaço amostral.

${\displaystyle P(\Omega )=1.}$

Este é muitas vezes esquecido em alguns cálculos de probabilidade equivocadas, se você não pode definir com precisão todo o espaço amostral, então a probabilidade de qualquer subconjunto não pode ser definido.

Terceiro axioma

Este é o pressuposto de σ-aditividade:

Qualquer sequência contável de conjuntos disjuntos (sinônimo de eventos mutuamente exclusivos) ${\displaystyle E_{1},E_{2},...}$ satisfaz

${\displaystyle P(E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots )=\sum _{i=1}^{\infty }P(E_{i}).}$

Alguns autores consideram apenas finitamente e aditivos os espaços de probabilidade, caso em que se necessita apenas de uma álgebra de conjuntos, em vez de um σ-álgebra. Na distribuição de quasiprobabilidade, em geral, o terceiro axioma é expandido, permitindo que a função de probabilidade assuma valores negativos.^[3]

Consequências

A partir dos axiomas de Kolmogorov , pode-se deduzir outras regras úteis para cálculo de probabilidades.

Monotonia

${\displaystyle \quad {\text{se}}\quad A\subseteq B\quad {\text{então}}\quad P(A)\leq P(B).}$

A probabilidade do conjunto vazio

${\displaystyle P(\emptyset )=0.}$

O limite numérico

Ele segue imediatamente a partir da propriedade de monotonicidade:

${\displaystyle 0\leq P(E)\leq 1\qquad {\text{∀}}E\in F.}$

Provas

As provas dessas propriedades são interessantes e esclarecedoras. Eles ilustram o poder do terceiro axioma, e sua interação com os restantes dois axiomas. Ao estudar teoria da probabilidade axiomática, muitas consequências profundas seguem a partir desses três meros axiomas. A fim de verificar a propriedade de monotonicidade, partimos: ${\displaystyle E_{1}=A}$ and ${\displaystyle E_{2}=B\backslash A}$,Quando ${\displaystyle \quad A\subseteq B{\text{ and }}E_{i}=\emptyset }$ for ${\displaystyle i\geq 3}$. É fácil de ver que os conjuntos ${\displaystyle E_{i}}$.São disjuntos dois a dois e ${\displaystyle E_{1}\cup E_{2}\cup \ldots =B}$. Assim, obtemos a partir do terceiro axioma de que:

${\displaystyle P(A)+P(B\backslash A)+\sum _{i=3}^{\infty }P(\emptyset )=P(B).}$

Desde a esquerda o lado desta equação é uma série de números não-negativos, e que converge para:

${\displaystyle P(B)}$ o qual é finito, obtêm-se ambos ${\displaystyle P(A)\leq P(B)}$ e ${\displaystyle P(\emptyset )=0}$.

A segunda parte da declaração é visto por contradição se: ${\displaystyle P(\emptyset )=a}$ em seguida o lado esquerdo não é inferior a:

${\displaystyle \sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=\sum _{i=3}^{\infty }P(\emptyset )=\sum _{i=3}^{\infty }a={\begin{cases}0&{\text{if }}a=0,\\\infty &{\text{if }}a>0.\end{cases}}}$

Se ${\displaystyle a>0}$ obtemos uma contradição, para que a soma não ultrapasse ${\displaystyle P(B)}$ que é finito. Assim, ${\displaystyle a=0}$. Nós mostramos como um subproduto da prova de monotonia que ${\displaystyle P(\emptyset )=0}$.

Mais consequências

Outra propriedade importante é:

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).}$

Esta é a chamada lei além de probabilidade, ou a regra da soma. Ou seja, a probabilidade de que A' ou' B irá acontecer é a soma das probabilidades de que A vai acontecer e que B vai acontecer, menos a probabilidade de que ambos A' e' B vão acontecer. Isso pode ser estendido para o princípio da inclusão-exclusão.

${\displaystyle P(\Omega \setminus E)=1-P(E)}$

Ou seja, a probabilidade de que qualquer evento não acontecer é 1 menos a probabilidade de que isso acontecerá.

Exemplo simples: moeda-lance

Considere um lançamento único de uma moeda, assuma que a moeda será ou cara (H) ou coroa (T) (mas não ambos). A suposição é feita para saber se a moeda é honesta (Isto é, sua distribuição de massa é igualitária e sem deformidades que a faça tender para um dos lados). Podemos definir:

${\displaystyle \Omega =\{H,T\}}$

${\displaystyle F=\{\emptyset ,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}}$

Axiomas de Kolmogorov implicam que:

${\displaystyle P(\emptyset )=0}$

A probabilidade de cara ou coroa é 1.

${\displaystyle P(\{H,T\})=1}$

A probabilidade de cara mais coroa é 1.

${\displaystyle P(\{H\})+P(\{T\})=1}$

A soma da probabilidade de cara e a probabilidade de coroa é 1.

Ver também

• Lei da probabilidade total
• Medida (matemática)
• σ-álgebra
• Teoria da Probabilidade
• Probabilidade condicional

Referências

Bibliografia

• Von Plato, Jan, 2005 ", der Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung" em Grattan-Guinness, I., ed Escritos marco na Matemática ocidentais.. Elsevier: 960-69. (em inglês)
• Glenn Shafer; Vladimir Vovk. «As origens e o legado de Kolmogorov de Grundbegriffe» (PDF) 

Ligações externas

• # KolProCal Kolmogorov `s cálculo de probabilidades, Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• # M2 Definição formalde probabilidade no sistema de Mizar, e a lista de teoremas formalmente provado sobre isso.

• Portal da matemática