Matriz jacobiana

Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico
v d e

A Matriz Jacobiana (denominado do matemático alemão Carl Gustav Jakob Jacobi) é a matriz formada pelas derivadas parciais de primeira ordem de uma função vetorial. Se uma função é diferenciável num ponto, a sua derivada é dada em coordenadas pela Jacobiana, mas uma função não precisa ser diferenciável para a existência da Jacobiana; basta que as derivadas parciais existam.

Definição formal

Seja ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$, ou seja, uma função que denominaremos "F", com domínio e imagem no espaço euclidiano n e m dimensional, respectivamente. Tal função é definida por um vetor de m componentes, sendo cada componente uma função ${\displaystyle F_{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ . As derivadas parciais dessas funções podem ser organizadas numa matriz m x n, que é denominada Matriz Jacobiana. Assim, a Jacobiana é definida como:

Em linguagem matemática	Em Português
${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}$	Matriz de m linhas e n colunas. A primeira linha representa as derivadas parciais da função ${\displaystyle F_{1}}$ em relação a todos os x (de x1 a xn). A segunda linha representa as derivadas parciais de ${\displaystyle F_{2}}$ (também em relação a todos os x), e assim por diante, até a linha de número m, que representa as derivadas parciais de ${\displaystyle F_{m}}$ em relação a todos os xs.

Notação

A Jacobiana é representada por ${\displaystyle J_{F}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ou ${\displaystyle {\frac {\partial (F_{1},\ldots ,F_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}}$

A k-ésima linha da matriz é dada pela transposta do gradiente de ${\displaystyle F_{k}}$

Determinante Jacobiano

O Jacobiano é definido como sendo o determinante da Jacobiana. Ele é de grande importância na mudança de variáveis em integrais múltiplas e no Teorema da Função Inversa.

Exemplos

• Exemplo 1: Seja ${\displaystyle F(x,y)=(x^{2}+y^{2},xy)}$ . Aqui, ${\displaystyle F_{1}=x^{2}+y^{2}}$ e ${\displaystyle F_{2}=xy}$. A matriz jacobiana de F é:

${\displaystyle J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\\&\\{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2x&2y\\y&x\end{bmatrix}}}$^[1]

O determinante Jacobiano é ${\displaystyle 2(x^{2}-y^{2})}$ .

• Exemplo 2: Vamos montar a Jacobiana da mudança de variáveis cartesianas para polares. A função que faz a transformação é:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=r\cos \theta \\y=r\operatorname {sen} \theta \end{matrix}}\right.}$

A Jacobiana é dada então por:

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\operatorname {sen} \theta \\\operatorname {sen} \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}}$

O Jacobiano é ${\displaystyle r}$. portanto poderá ser feito de acordo com alguns métodos matemáticos

• Exemplo 3 (mudança de variáveis em Estatística, relacionado à distribuição de Erlang):^[2] Seja (X,Y) um par aleatório absolutamente contínuo com densidade de probabilidade conjunta ${\displaystyle f_{x,y}\left(x,y\right)}$. Seja também G uma função ${\displaystyle G:\mathbb {R} ^{2}\ \rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ injectiva (portanto com inversa) com dois componentes G(x,y) = (u,v). Cada um destes componentes é função de duas variáveis reais, tal que

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}u=&g_{1}(x,y)\\v=&g_{2}(x,y)\end{matrix}}\right.}$, sendo que g1 e g2 possuem derivadas parciais em relação a x e a y

Portanto, podemos definir o par aleatório (U,V)=G(X,Y). Como determinar a densidade de probabilidade conjunta do par (U,V) a partir da densidade conjunta de (X,Y)?

Como G tem inversa, podemos escrever:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=&h_{1}(u,v)\\y=&h_{2}(u,v)\end{matrix}}\right.}$

A densidade conjunta de (U,V) será: ${\displaystyle f_{U,V}(u,v)=\left|J\right|f_{X,Y}h_{1}(u,v)h_{2}(u,v)}$, em que ${\displaystyle \left|J\right|}$ representa o módulo do determinante jacobiano, isto é, o módulo de ${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\frac {\partial h_{1}(u,v)}{\partial u}}&{\frac {\partial h_{1}(u,v)}{\partial v}}\\{\frac {\partial h_{2}(u,v)}{\partial u}}&{\frac {\partial h_{2}(u,v)}{\partial v}}\end{vmatrix}}}$.

Assim, digamos que (U,V) = (X+Y,X-Y). Teremos então

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}u=&x+y\\v=&x-y\end{matrix}}\right.\longrightarrow \left\{{\begin{matrix}x=&{\color {Blue}u-y}\\y=&{\color {Red}x-v}\end{matrix}}\right.\longrightarrow \left\{{\begin{matrix}x=&u-({\color {Red}x-v})\\y=&({\color {Blue}u-y})-v\end{matrix}}\right.\longrightarrow }$ ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=&h_{1}(u,v)=&{\frac {u+v}{2}}\\y=&h_{2}(u,v)=&{\frac {u-v}{2}}\end{matrix}}\right.}$

O determinante jacobiano neste caso (chamado de jacobiano da transformação^[3]) será ${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\frac {\partial h_{1}(u,v)}{\partial u}}&{\frac {\partial h_{1}(u,v)}{\partial v}}\\{\frac {\partial h_{2}(u,v)}{\partial u}}&{\frac {\partial h_{2}(u,v)}{\partial v}}\end{vmatrix}}}$ ${\displaystyle ={\begin{vmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{vmatrix}}=\left|-{\frac {1}{2}}\right|}$. O módulo deste determinante é ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$. A função densidade de probabilidade conjunta é, portanto:

${\displaystyle f_{U,V}(u,v)=\left|J\right|f_{X,Y}h_{1}(u,v)h_{2}(u,v)={\frac {1}{2}}f_{X,Y}\left({\frac {u+v}{2}},{\frac {u-v}{2}}\right)}$

Aproximação linear

A Jacobiana representa a melhor aproximação linear de uma função diferenciável nas vizinhanças de um ponto. Semelhante à aproximação de funções de uma variável pela derivada, uma função vetorial F diferenciável num ponto ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$ pode ser aproximada por:

${\displaystyle F(\mathbf {x} )\approx F(\mathbf {x_{0}} )+J_{F}(\mathbf {x_{0}} )\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )^{T}}$

sendo ${\displaystyle \mathbf {x} }$ um ponto próximo de ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$. Essa aproximação é de grande importância no cálculo numérico, onde a Jacobiana e o seu determinante são utilizados para resolver sistemas não-lineares pelo método de Newton (ou método do Gradiente Iterativo).

Ver também

• Matriz Hessiana

Referências