Dodecadodecaedru snub

Dodecadodecaedru snub
(model 3D)
Descriere
Tippoliedru uniform neconvex
Fețe84 (60 triunghiuri,
      12 pentagoane,
      12 pentagrame)
Laturi (muchii)150
Vârfuri60
χ−6
Configurația vârfului3.3.5/2.3.5[1]
Simbol Wythoff| 2 5/2 5[1]
Simbol Schläflisr{5/2,5}
Diagramă Coxeter
Grup de simetrieI, [5,3]+, 532[1]
Volum≈18,256 a3   (a = latura)
Poliedru dualhexacontaedru pentagonal medial
Proprietățiuniform, neconvex
Figura vârfului

În geometrie dodecadodecaedrul snub este un poliedru stelat uniform, cu indicele U40. Are 84 de fețe (80 triunghiuri, 12 pentagoane și 12 pentagrame), 150 de laturi și 60 de vârfuri.[1][2] Având 84 de fețe este un ogdoecontatetraedru neconvex. Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă laturi sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi.

Este reprezentat prin diagrama Coxeter–Dynkin . Are simbolul Wythoff | 2 5/2 5[1] și simbolul Schläfli sr{5/2,5}.

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

coordonatele carteziene ale vârfurilor sunt toate permutările pare cu un număr impar de semne plus ale

( ± 2 α , ± 2 , ± 2 β ) {\displaystyle \left(\,\pm 2\alpha ,\,\pm 2,\,\pm 2\beta \,\right)}
( ± ( α + β φ − 1 + φ ) , ± ( − α φ + β + φ − 1 ) , ± ( α φ − 1 + β φ − 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha +\beta \varphi ^{-1}+\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi +\beta +\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi -1)\,\right)}
( ± ( − α φ − 1 + β φ + 1 ) , ± ( − α + β φ − 1 − φ ) , ± ( α φ + β − φ − 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi +1),\,\pm (-\alpha +\beta \varphi ^{-1}-\varphi ),\,\pm (\alpha \varphi +\beta -\varphi ^{-1})\,\right)}
( ± ( − α φ − 1 + β φ − 1 ) , ± ( α − β φ − 1 − φ ) , ± ( α φ + β + φ − 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi -1),\,\pm (\alpha -\beta \varphi ^{-1}-\varphi ),\,\pm (\alpha \varphi +\beta +\varphi ^{-1})\,\right)}
( ± ( α + β φ − 1 − φ ) , ± ( α φ − β + φ − 1 ) , ± ( α φ − 1 + β φ + 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha +\beta \varphi ^{-1}-\varphi ),\,\pm (\alpha \varphi -\beta +\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi +1)\,\right)}

unde φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} este secțiunea de aur,

α {\displaystyle \alpha } este rădăcina reală pozitivă a polinomului φ α 4 − α 3 + 2 α 2 − α − φ − 1 , ≈ 0 , 7964421 , {\displaystyle \varphi \alpha ^{4}-\alpha ^{3}+2\alpha ^{2}-\alpha -\varphi ^{-1},\,\approx 0,7964421,} [3] iar
β = α 2 φ − 1 + φ α φ − φ − 1 . {\displaystyle \beta ={\frac {\alpha ^{2}\varphi ^{-1}+\varphi }{\alpha \varphi -\varphi ^{-1}}}.}

Permutările impare ale coordonatelor de mai sus cu un număr impar de semne plus dau o altă formă, enantiomorfă a celeilalte.[4]

Rază circumscrisă

Raza circumscrisă pentru lungimea laturii de 1 unitate, R = 1 , 274439882 , {\displaystyle R=1,274439882,} [2] este dată de cea mai mare rădăcină reală a polinomului[5]

64 R 8 − 192 R 6 + 180 R 4 − 65 R 2 + 8. {\displaystyle 64R^{8}-192R^{6}+180R^{4}-65R^{2}+8.}

Volum

Volumul său, V, este dat de cea mai mare dintre rădăcinile reale ale polinomului de gradul al patrulea în x 2 {\displaystyle x^{2}} [6]

64 x 8 − 21440 x 6 + 18100 x 4 + 5895625 x 2 + 60062500. {\displaystyle 64x^{8}-21440x^{6}+18100x^{4}+5895625x^{2}+60062500.}

Ca urmare, volumul este

V ≈ 18 , 25642   a 3 {\displaystyle V\approx 18,25642~a^{3}}

unde a este lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate).

Polinoamele de mai sus definesc și raza circumscrisă și volumul dodecadodecaedrului snub inversat.

Dual: hexacontaedru pentagonal medial

Poliedre înrudite

Poliedru dual

Dualul său este hexacontaedrul pentagonal medial.[7][8]

Note

  1. ^ a b c d e en Maeder, Roman. „40: snub dodecadodecahedron”. MathConsult. Accesat în . 
  2. ^ a b en Eric W. Weisstein, Snub Dodecadodecahedron la MathWorld.
  3. ^ en equation solver, wolframalpha.com, accesat 2023-10-23
  4. ^ en Skilling, John (), „The complete set of uniform polyhedra”, Philosophical Transactions of the Royal Society A, 278 (1278): 111–135, doi:10.1098/rsta.1975.0022 
  5. ^ en equation solver, wolframalpha.com, accesat 2023-10-23
  6. ^ en equation solver, wolframalpha.com, accesat 2023-10-23
  7. ^ en Eric W. Weisstein, Medial pentagonal hexecontahedron la MathWorld.
  8. ^ en Wenninger, Magnus (), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 

Vezi și

Legături externe

  • en Uniform polyhedra and duals
Portal icon Portal Matematică
  • en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”.  Cheie: siddid
  • v
  • d
  • m
Poliedre neconvexe
Poliedre
Kepler–Poinsot
Trunchieri uniforme
ale poliedrelor
Kepler–Poinsot
hemipoliedre
uniforme neconvexe
Duale ale poliedrelor
uniforme neconvexe
  • triacontaedru rombic medial
  • micul dodecaedru stelapentakis
  • hexacontaedru romboidal medial
  • hexacontaedru pentagonal medial
  • triacontaedru disdiakis medial
  • marele triacontaedru rombic
  • marele dodecaedru stelapentakis
  • marele hexacontaedru romboidal
  • marele triacontaedru disdyakis
  • marele hexacontaedru pentagonal