Dodecadodecaedru trunchiat

Dodecadodecaedru trunchiat
(model 3D)
Descriere
Tippoliedru uniform neconvex
Fețe54 (30 pătrate,
      12 decagoane,
      12 decagrame)
Laturi (muchii)180
Vârfuri120
χ−16
Configurația vârfului4.10/9.10/3[1]
Simbol Wythoff2 5 5/3 |[1]
Simbol Schläflit0,1,2{5/3,5}
Diagramă Coxeter
Grup de simetrieIh, [5,3], (*532) [1]
Volum15 a3   (a = latura)
Poliedru dualtriacontaedru disdiakis medial
Proprietățiuniform, neconvex
Figura vârfului

În geometrie dodecadodecaedrul trunchiat este un poliedru uniform neconvex, cu indicele U59. Are 54 de fețe (30 de pătrate, 12 decagoane și 12 decagrame), 180 de laturi și 120 de vârfuri.[1] Având 52 de fețe este un pentacontatetraedru neconvex. Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă muchii sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi. Zona centrală a poliedrului este conectată cu exteriorul prin 20 de mici orificii triunghiulare.

Are simbolul Wythoff 2 5 5/3 |[1], simbolul Schläfli t0,1,2{5/3,5} și diagrama Coxeter .

Denumirea de „dodecadodecaedru trunchiat” este oarecum înșelătoare: trunchierea dodecadodecaedrului ar produce fețe dreptunghiulare, nu pătrate, iar fețele pentagramelor dodecadodecaedrului s-ar transforma în pentagrame trunchiate în loc de decagrame. Totuși, este o cvasitrunchiere a dodecadodecaedrului, așa cum este definită de Coxeter, Longuet-Higgins și Miller în 1954.[2] Din acest motiv mai este cunoscut drept dodecadodecaedrul cvasitrunchiat. Coxeter ș.a. atribuie descoperirea sa matematicianului austriac Johann Pitsch, care l-a prezentat într-un articol publicat în 1881.[3]

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

coordonatele carteziene ale vârfurilor sale, cu lungimea laturii 2, centrat în origine, sunt toate permutările ale:[4][5]

( ± 1 , ± 1 , ± 3 ) {\displaystyle \left(\,\pm 1,\,\pm 1,\,\pm 3\,\right)}
( ± 1 , ± 5 , ± 5 ) {\displaystyle \left(\,\pm 1,\,\pm {\sqrt {5}},\,\pm {\sqrt {5}}\,\right)}

și toate permutările pare ale:

( ± ( 2 φ ) , ± ( φ 1 ) , ± 2 φ ) {\displaystyle \left(\,\pm (2-\varphi ),\,\pm (\varphi -1),\,\pm 2\varphi \,\right)}
( ± ( φ + 1 ) , ± φ , ± 2 ( φ 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\varphi +1),\,\pm \varphi ,\,\pm 2(\varphi -1)\,\right)}
( ± ( φ + 1 ) , ± ( 2 φ ) , ± 2 ) {\displaystyle \left(\,\pm (\varphi +1),\,\pm (2-\varphi ),\,\pm 2\,\right)}

unde φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} este secțiunea de aur.

Raza sferei circumscrise

Raza sferei circumscrise pentru lungimea laturilor egală cu a este:[6]

R = 11 2 a 1 , 658312 a . {\displaystyle R={\frac {11}{2}}\,a\approx 1,658312\,a.}

Volum

Următoarea formulă pentru volum V este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:

V = 15 a 3 . {\displaystyle V=15\,a^{3}.}

Poliedre înrudite

Dual: triacontaedru disdiakis medial

Poliedru dual

Dualul său este triacontaedru disdiakis medial.[7]

Note

  1. ^ a b c d e en Maeder, Roman. „59: truncated dodecadodecahedron”. MathConsult. Accesat în . 
  2. ^ en Coxeter, H. S. M.; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (), „Uniform polyhedra”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 246 (916): 401–450, Bibcode:1954RSPTA.246..401C, doi:10.1098/rsta.1954.0003, JSTOR 91532, MR 0062446 
  3. ^ en Pitsch, Johann (), „Über halbreguläre Sternpolyeder”, Zeitschrift für das Realschulwesen, 6: 9–24, 72–89, 216 . După Coxeter ș.a., dodecadodecaedrul trunchiat apare la nr. XII la p. 86
  4. ^ en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, p. 52, §3.7 Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids
  5. ^ en Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.
  6. ^ en Eric W. Weisstein, Truncated Dodecadodecahedron la MathWorld.
  7. ^ en Wenninger, Magnus (), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 

Vezi și

Legături externe

  • en Uniform polyhedra and duals
Portal icon Portal Matematică
  • en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”.  Cheie: quitdid
  • v
  • d
  • m
Poliedre neconvexe
Poliedre
Kepler–Poinsot
Trunchieri uniforme
ale poliedrelor
Kepler–Poinsot
hemipoliedre
uniforme neconvexe
Duale ale poliedrelor
uniforme neconvexe
  • triacontaedru rombic medial
  • micul dodecaedru stelapentakis
  • hexacontaedru romboidal medial
  • hexacontaedru pentagonal medial
  • triacontaedru disdiakis medial
  • marele triacontaedru rombic
  • marele dodecaedru stelapentakis
  • marele hexacontaedru romboidal
  • marele triacontaedru disdyakis
  • marele hexacontaedru pentagonal