Monikulmioluku

Monikulmioluku on mikä tahansa luonnollinen luku, jota vastaava määrä pisteitä voidaan asetella tasavälein pinnalle niin, että ne muodostavat säännöllisen monikulmion[1]. Monikulmioluvut ovat eräs kuviolukujen ryhmä: niissä pisteitä asetellaan tasolle.

Johdanto

Esimerkiksi luku 10 on kolmioluku, sillä 10 kiveä voidaan asettaa tasasivuiseksi kolmioksi.

*
**
***
****

Sama luku 10 ei voi olla neliöluku, mutta luku 9 sitä vastoin voi olla.

***
***
***

Joskus sama luku voi olla sekä kolmio- että neliöluku. Pienin tällainen luku on 36.

******
******
******
******
******
****** 		*
**
***
****
*****
******
*******
********

Muita monikulmiolukuja ovat muun muassa kolmioluvut, neliöluvut, viisikulmioluvut ja kuusikulmioluvut.

Säännönmukaisia piirteitä

Merkitään jatkossa s {\displaystyle s} monikulmion sivujen lukumääräksi ja n {\displaystyle n} lukujonon jäsenen indeksiksi.

Lausekkeita

Ensimmäinen n-monikulmioluku on aina 1 ja seuraava s.[2]

Lauseke P ( s , n ) {\displaystyle P(s,n)} antaa monikulmioluvun arvon, kun

P ( s , n ) = ( s 2 − 1 ) n 2 − ( s 2 − 2 ) n = ( s − 2 ) n 2 − ( s − 4 ) n 2 . {\displaystyle P(s,n)={\left({\frac {s}{2}}-1\right)n^{2}-\left({\frac {s}{2}}-2\right)n}={\frac {(s-2)n^{2}-(s-4)n}{2}}\,.} [3][4]

Seuraava lauseke lausuu n {\displaystyle n} :nnen monikulmioluvun kolmiolukujen avulla:

P ( s , n ) = ( s − 2 ) T n − 1 + n = ( s − 3 ) T n − 1 + T n . {\displaystyle P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.} [3]

Monikulmiolukujonon kahden peräkkäisen luvun erotuksen lauseke on

P ( s , n + 1 ) − P ( s , n ) = ( s − 2 ) n + 1 . {\displaystyle P(s,n+1)-P(s,n)=(s-2)n+1\,.}

Kahden monikulmioluvun, joiden sivujen lukumäärä eroaa vain yhdellä, saman jäsenen n {\displaystyle n} arvot eroavat kolmioluvun verran:

P ( s + 1 , n ) − P ( s , n ) = T n − 1 = n ( n − 1 ) 2 . {\displaystyle P(s+1,n)-P(s,n)=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,.}

Jos tiedetään monikulmioluvun x {\displaystyle x} sivujen lukumäärän s {\displaystyle s} , voidaan laskea sen indeksi n {\displaystyle n} lausekkeesta

n = ( 8 s − 16 ) x + ( s − 4 ) 2 + s − 4 2 s − 4 . {\displaystyle n={\frac {{\sqrt {(8s-16)x+(s-4)^{2}}}+s-4}{2s-4}}.} [3]

Lukuarvoja

Alle on koottu ensimmäisten monikulmiolukujen tietoja. Sarakkeessa "Jonon jäsenten lauseke" annetaan sijoitetussa muodossa lauseke, jolla voidaan laskea monikulmioluvun indeksillä n {\displaystyle n} annetun jäsenen arvo. Sen perässä on luettelo kymmenestä ensimmäisestä monikulmioluvusta. Joistakin monikulmioluvuista tunnetaan niiden käänteislukujen sarjan arvo. Gottfried Wilhelm Leibniz ratkaisi ensimmäisenä kolmiolukujen sarjan arvon[5]. Viimeisessä sarakkeessa on linkki kokonaislukujen jonojen sivustolle (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences).

s Nimi Jonon jäsenen lauseke Jäsenet n:n arvoilla 1…10 Käänteislukujen summa[4] OEIS-numero
3 kolmioluku n 2 + n 2 {\displaystyle {n^{2}+n \over 2}} 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 2 {\displaystyle {2}} A000217
4 neliöluku n 2 {\displaystyle n^{2}} 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 π 2 6 {\displaystyle {\pi ^{2} \over 6}} A000290
5 viisikulmioluku 3 n 2 − n 2 {\displaystyle {3n^{2}-n \over 2}} 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145 3 ln ⁡ ( 3 ) − π 3 3 {\displaystyle {3\ln \left(3\right)}-{\pi {\sqrt {3}} \over 3}} A000326
6 kuusikulmioluku 2 n 2 − n {\displaystyle 2n^{2}-n} 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190 2 ln ⁡ ( 2 ) {\displaystyle {2\ln \left(2\right)}} A000384
7 seitsenkulmioluku 5 n 2 − 3 n 2 {\displaystyle {5n^{2}-3n \over 2}} 1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235 1 15 π 25 − 10 5 + 2 3 ln ⁡ ( 5 ) + 1 + 5 3 ln ⁡ ( 1 2 10 − 2 5 ) + 1 − 5 3 ln ⁡ ( 1 2 10 + 2 5 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{15}}{\pi }{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}+{\frac {2}{3}}\ln(5)\\+{\frac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)\\+{\frac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)\end{matrix}}} A000566
8 kahdeksankulmioluku 3 n 2 − 2 n {\displaystyle 3n^{2}-2n} 1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280 3 ln ⁡ ( 3 ) 4 + π 3 12 {\displaystyle {{3\ln \left(3\right) \over 4}+{\pi {\sqrt {3}} \over 12}}} A000567
9 yhdeksänkulmioluku 7 n 2 − 5 n 2 {\displaystyle {7n^{2}-5n \over 2}} 1, 9, 24, 46, 75, 111, 154, 204, 261, 325 A001106
10 kymmenkulmioluku 4 n 2 − 3 n {\displaystyle 4n^{2}-3n} 1, 10, 27, 52, 85, 126, 175, 232, 297, 370 ln ⁡ ( 2 ) + π 6 {\displaystyle {{\ln \left(2\right)}+{\pi \over 6}}} A001107
11 yksitoistakulmioluku 9 n 2 − 7 n 2 {\displaystyle {9n^{2}-7n \over 2}} 1, 11, 30, 58, 95, 141, 196, 260, 333, 415 A051682
12 kaksitoistakulmioluku 5 n 2 − 4 n {\displaystyle 5n^{2}-4n} 1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460 A051624
13 kolmetoistakulmioluku 11 n 2 − 9 n 2 {\displaystyle {11n^{2}-9n \over 2}} 1, 13, 36, 70, 115, 171, 238, 316, 405, 505 A051865
14 neljätoistakulmioluku 6 n 2 − 5 n {\displaystyle 6n^{2}-5n} 1, 14, 39, 76, 125, 186, 259, 344, 441, 550 2 ln ⁡ ( 2 ) 5 + 3 ln ⁡ ( 3 ) 10 + π 3 10 {\displaystyle {{2\ln \left(2\right) \over 5}+{3\ln \left(3\right) \over 10}+{\pi {\sqrt {3}} \over 10}}} A051866
15 viisitoistakulmioluku 13 n 2 − 11 n 2 {\displaystyle {13n^{2}-11n \over 2}} 1, 15, 42, 82, 135, 201, 280, 372, 477, 595 A051867
16 kuusitoistakulmioluku 7 n 2 − 6 n {\displaystyle 7n^{2}-6n} 1, 16, 45, 88, 145, 216, 301, 400, 513, 640 A051868
17 seitsemäntoistakulmioluku 15 n 2 − 13 n 2 {\displaystyle {15n^{2}-13n \over 2}} 1, 17, 48, 94, 155, 231, 322, 428, 549, 685 A051869
18 kahdeksantoistakulmioluku 8 n 2 − 7 n {\displaystyle 8n^{2}-7n} 1, 18, 51, 100, 165, 246, 343, 456, 585, 730 A051870
19 yhdeksäntoistakulmioluku 17 n 2 − 15 n 2 {\displaystyle {17n^{2}-15n \over 2}} 1, 19, 54, 106, 175, 261, 364, 484, 621, 775 A051871
20 kaksikymmentäkulmioluku 9 n 2 − 8 n {\displaystyle 9n^{2}-8n} 1, 20, 57, 112, 185, 276, 385, 512, 657, 820 A051872
21 kaksikymmentäyksikulmio­luku 19 n 2 − 17 n 2 {\displaystyle {19n^{2}-17n \over 2}} 1, 21, 60, 118, 195, 291, 406, 540, 693, 865 A051873
22 kaksikymmentäkaksikulmio­luku 10 n 2 − 9 n {\displaystyle 10n^{2}-9n} 1, 22, 63, 124, 205, 306, 427, 568, 729, 910 A051874
23 kaksikymmentäkolmekulmio­luku 21 n 2 − 19 n 2 {\displaystyle {21n^{2}-19n \over 2}} 1, 23, 66, 130, 215, 321, 448, 596, 765, 955 A051875
24 kaksikymmentäneljäkulmio­luku 11 n 2 − 10 n {\displaystyle 11n^{2}-10n} 1, 24, 69, 136, 225, 336, 469, 624, 801, 1000 A051876

Yhteisiä lukuja

Jotkin monikulmioluvut, kuten yllä oleva esimerkki 36, joka kuuluu kolmio- ja neliölukuihin, kuuluvat kahteen ryhmään saman aikaisesti. Pellin yhtälöllä on mahdollista selvittää kahden ryhmän yhteiset luvut.

Seuraavassa taulukossa on luetteloitu joidenkin monikulmiolukujen yhteiset luvut. Luku s  ja  t {\displaystyle s{\text{ ja }}t} esittävät lukujen kulmien määrää. Joissakin tapauksissa ainoa yhteinen jäsen on ensimmäinen luku 1. Näin on esimerkiksi, kun s = 10  ja  t = 4 {\displaystyle s=10{\text{ ja }}t=4} .

s t Jono OEIS-numero
4 3 1, 36, 1225, 41616, … A001110
5 3 1, 210, 40755, 7906276, … A014979
5 4 1, 9801, 94109401, … A036353
6 3 kaikki kuusikulmioluvut A000384
6 4 1, 1225, 1413721, … A046177
6 5 1, 40755, 1533776805, … A046180
7 3 1, 55, 121771, 5720653, … A046194
7 4 1, 81, 5929, 2307361, … A036354
7 5 1, 4347, 16701685, … A048900
7 6 1, 121771, 12625478965, … A048903
8 3 1, 21, 11781, 203841, … A046183
8 4 1, 225, 43681, 8473921, … A036428
8 5 1, 176, 1575425, … A046189
8 6 1, 11781, 113123361, … A046192
8 7 1, 297045, 69010153345, … A048906
9 3 1, 325, 82621, 20985481, … A048909
9 4 1, 9, 1089, 8281, 978121, … A036411
9 5 1, 651, 180868051, … A048915
9 6 1, 325, 5330229625, … A048918
9 7 1, 26884, 542041975, … A048921
9 8 1, 631125, 286703855361, … A048924

Historiaa

Muun muassa pythagoralaiset tutkivat noin 500 eaa. lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut olivat keskeinen osa kuviolukujen oppirakennelmaa ja liittyi ilmeisesti oleellisella tavalla numerologiaan. Heidän lukuteoriansa piti pyhän tetraktyksen T 4 {\displaystyle T_{4}} kolmiorakennetta samassa arvossa kuin säännöllistä geometrista viisikulmiota eli pentagrammia. Etuoikeutettujen lukujen luokkia oli runsaasti. Filolaos totesi, että kaikkiin asioihin voidaan liittää luku ja että mitään ei voida kuvitella tai tietää ilman lukua.[6]

Pierre de Fermat tutki muiden töidensä oheella myös pythagoralaisten matematiikkaa käsitellen muun muassa täydellisiä lukuja, kuviolukuja ja alkulukuja. Hänen todistusmenetelmät avasivat lukujen maailman tehokkaasti ja samalla hän perusti lukuteorian. Hän ehdotti haasteena muille, että jokainen luonnollinen luku voidaan esittää korkeintaan k:lla k-kulmioluvulla (Fermat’n monikulmiolause). Hän myös väitti todistaneensa väitteensä, mutta todistusta ei ole löydetty hänen paperiensa joukosta. Carl Gustav Jacob Jacobi ja Joseph-Louis Lagrange (Lagrangen neljän neliön lause, vuonna 1772) sekä Leonhard Euler ovat todistaneet sen neliölukujen tapauksessa ja Carl Friedrich Gauss kolmiolukujen tapauksessa vuonna 1796. Vasta Augustin-Louis Cauchy todisti sen yleisessä tapauksessa vuonna 1813.[7][3][8]

Lähteet

  • Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osat I–II. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-150-0, ISBN 951-884-158-6.
  • Lehtinen, Matti: Matematiikan historia (pdf) (Oulun yliopiston luento) 2011. Oulu: Oulun Yliopisto. [vanhentunut linkki]

Viitteet

  1. ↑ Weisstein, Eric W.: Figurate Number (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. ↑ Lehtinen 2011, s. 19.
  3. ↑ a b c d Weisstein, Eric W.: Polygonal Number (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. ↑ a b Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers (Arkistoitu – Internet Archive)
  5. ↑ Boyer, s. 562–566.
  6. ↑ Boyer, s. 93–95.
  7. ↑ Boyer, s. 498–501.
  8. ↑ Boyer, s. 726.

Aiheesta muualla

  • Hobson, N.: "Triangular Numbers" (Arkistoitu – Internet Archive)
  • Rajesh Ram: TRIANGLE Numbers that are Perfect Squares (Arkistoitu – Internet Archive)
  • Pell's equation Englanninkielisessä Wikipediassa.