Marele icosidodecaedru snub

Marele icosidodecaedru snub
(model 3D)
Descriere
Tippoliedru uniform neconvex
Fețe92 (80 triunghiuri,
      12 pentagrame)
Laturi (muchii)150
Vârfuri60
χ2
Configurația vârfului34.5/2[1]
Simbol Wythoff| 2 5/2 3[1]
Simbol Schläflisr{5/2,3}
Diagramă Coxeter
Grup de simetrieI, [5,3]+, 532[1]
Volum≈2,714 a3   (a = latura)
Poliedru dualmarele hexacontaedru pentagonal
Proprietățiuniform, neconvex
Figura vârfului

În geometrie marele icosidodecaedru snub este un poliedru stelat uniform, cu indicele U57. Are 92 de fețe (80 triunghiuri și 12 pentagrame), 150 de laturi și 60 de vârfuri.[1][2] Având 92 de fețe este un enenecontadiedru neconvex. Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă laturi sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi.

Este reprezentat prin diagrama Coxeter–Dynkin . Are simbolul Wythoff | 2 5/2 3[1] și simbolul Schläfli sr{5/2,3}.

Este un poliedru snub, membru al unei familii care cuprinde marele icosaedru, marele dodecaedru stelat și marele icosidodecaedru.

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

coordonatele carteziene ale vârfurilor sunt toate permutările pare cu un număr impar desemne minus ale

( ± 2 α , ± 2 , ± 2 β ) {\displaystyle \left(\,\pm 2\alpha ,\,\pm 2,\,\pm 2\beta \,\right)}
( ± ( α − β φ − φ − 1 ) , ± ( α φ − 1 + β − φ ) , ± ( − α φ − β φ − 1 − 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi -\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1)\,\right)}
( ± ( α φ − β φ − 1 + 1 ) , ± ( − α − β φ + φ − 1 ) , ± ( − α φ − 1 + β + φ ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1),\,\pm (-\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta +\varphi )\,\right)}
( ± ( α φ − β φ − 1 − 1 ) , ± ( α + β φ + φ − 1 ) , ± ( − α φ − 1 + β − φ ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1),\,\pm (\alpha +\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi )\,\right)}
( ± ( α − β φ + φ − 1 ) , ± ( − α φ − 1 − β − φ ) , ± ( − α φ − β φ − 1 + 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}-\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1)\,\right)}

unde φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} este secțiunea de aur,

ξ {\displaystyle \xi } este prima rădăcină reală (cea negativă) a polinomului ξ 3 − 2 ξ + φ − 1 , ≈ − 1 , 5488772 , {\displaystyle \xi ^{3}-2\xi +\varphi ^{-1},\,\approx -1,5488772,} [3]
α = ξ − ξ − 1 {\displaystyle \alpha =\xi -\xi ^{-1}} iar
β = − ξ φ − 1 + φ − 2 − ( ξ φ ) − 1 . {\displaystyle \beta =-\xi \varphi ^{-1}+\varphi ^{-2}-(\xi \varphi )^{-1}.}

Permutările impare ale coordonatelor de mai sus cu un număr impar de semne plus dau o altă formă, enantiomorfă a celeilalte.[4]

Rază circumscrisă

Raza circumscrisă pentru lungimea laturii de 1 unitate este[2]

R = 1 2 2 − x 1 − x ≈ 0 , 6450202 {\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}\approx 0,6450202}

unde x = − 0 , 505561 {\displaystyle x=-0,505561} este a doua ca mărime rădăcină reală a polinomului x 3 + 2 x 2 − φ − 2 {\displaystyle x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{-2}} .[5]

O altă relație pentru calculul razei circumscrise se bazează pe rădăcinile reale pozitive ale polinomului de gradul al șaselea în R 2 , {\displaystyle R^{2},}

4096 R 12 − 27648 R 10 + 47104 R 8 − 35776 R 6 + 13872 R 4 − 2696 R 2 + 209 = 0 {\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}

ale cărei rădăcini reale sunt: R1 = 0,580002, R2 = 0,645020, R3 = 0,816081 și R4 = 2,15584,[6] și sunt, în ordine, razele circumscrise ale marelui icosidodecaedru retrosnub (U74), marelui icosidodecaedru snub (U57), marelui icosidodecaedru snub inversat (U69) și a dodecaedrului snub (U29).

Volum

Volumul său, V, este dat una dintre rădăcinile reale ale polinomului de gradul al șaselea în x 2 {\displaystyle x^{2}}

2176782336 x 12 − 3195335070720 x 10 + 162223191936000 x 8 + 1030526618040000 x 6 + 6152923794150000 x 4 − 182124351550575000 x 2 + 187445810737515625. {\displaystyle {\begin{aligned}&2176782336x^{12}-3195335070720x^{10}+162223191936000x^{8}+1030526618040000x^{6}\\{}&+6152923794150000x^{4}-182124351550575000x^{2}+187445810737515625.\end{aligned}}}

Cele patru rădăcini reale ale acestui polinom sunt x1 = 1,03760, x2 = 2,71387, x3 = 7,67390 și x4 = 37,6166[7] și sunt, în ordine, volumele marelui icosidodecaedru retrosnub (U74), marelui icosidodecaedru snub (U57), marelui icosidodecaedru snub inversat (U69) și al dodecaedrului snub (U29).

Ca urmare, volumul este

V ≈ 2 , 71387   a 3 {\displaystyle V\approx 2,71387~a^{3}}

unde a este lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate).

Dual: marele hexacontaedru pentagonal

Poliedre înrudite

Poliedru dual

Dualul său este marele hexacontaedru pentagonal.[8][9]

Note

  1. ^ a b c d e en Maeder, Roman. „57: great snub icosidodecahedron”. MathConsult. Accesat în . 
  2. ^ a b Eric W. Weisstein, Great Snub Icosidodecahedron la MathWorld.
  3. ^ en equation solver, wolframalpha.com, accesat 2023-10-22
  4. ^ en Skilling, John (), „The complete set of uniform polyhedra”, Philosophical Transactions of the Royal Society A, 278 (1278): 111–135, doi:10.1098/rsta.1975.0022 
  5. ^ en equation solver, wolframalpha.com, accesat 2023-10-22
  6. ^ en solver, wolframalpha.com, accesat 2023-10-21
  7. ^ en equation solver, wolframalpha.com, accesat 2023-10-21
  8. ^ en Eric W. Weisstein, Great pentagonal hexecontahedron la MathWorld.
  9. ^ en Wenninger, Magnus (), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 

Vezi și

Legături externe

  • en Uniform polyhedra and duals
Portal icon Portal Matematică
  • en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”.  Cheie: gosid
  • v
  • d
  • m
Poliedre neconvexe
Poliedre
Kepler–Poinsot
Trunchieri uniforme
ale poliedrelor
Kepler–Poinsot
hemipoliedre
uniforme neconvexe
Duale ale poliedrelor
uniforme neconvexe
  • triacontaedru rombic medial
  • micul dodecaedru stelapentakis
  • hexacontaedru romboidal medial
  • hexacontaedru pentagonal medial
  • triacontaedru disdiakis medial
  • marele triacontaedru rombic
  • marele dodecaedru stelapentakis
  • marele hexacontaedru romboidal
  • marele triacontaedru disdyakis
  • marele hexacontaedru pentagonal