Nombre décagonal centré

Ne doit pas être confondu avec Nombre décagonal.

En mathématiques, un nombre décagonal centré est un nombre figuré polygonal centré qui représente un décagone avec point central, tous les points qui l'entourent formant des couches décagonales successives. Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre décagonal centré est donc

${\displaystyle C_{10,n}=1+10\ {\frac {n(n-1)}{2}}=5n^{2}-5n+1.}$

Par conséquent, les nombres décagonaux centrés sont congrus à 1 modulo 10 (autrement dit : leur chiffre des unités en base dix est 1 — ils sont donc impairs).

Ils forment la suite d'entiers  A062786 de l'OEIS : 1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, etc.

En base dix, le chiffre des unités de tout diviseur d'un nombre décagonal centré est 1 ou 9. En effet, pour tout facteur premier p de 5n² – 5n + 1, on a p > 5 et modulo p, 5(2n – 1)² est congru à 1 donc 5 est un résidu quadratique, par conséquent modulo 5, p est un carré, si bien que p est congru à ±1 mod 5, donc aussi mod 10 (puisqu'il est impair).

La sous-suite des nombres décagonaux centrés premiers est 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, etc. (suite A090562 de l'OEIS) et leurs indices n sont 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, etc. (1 + suite A090563 de l'OEIS).

• Arithmétique et théorie des nombres