Nombre polyédrique

En arithmétique géométrique, un nombre polyédrique est un nombre figuré comptant des points disposés régulièrement dans un polyèdre.

Cas des pyramides

Le n-ième nombre k-pyramidal est la somme des nombres k-gonaux d'indices 1 à ${\displaystyle n}$ :

${\displaystyle P_{n}^{(k)}=\sum _{i=1}^{n}P_{k,i}={\frac {1}{6}}n(n+1)\left((k-2)n-(k-5)\right)}$

Cas des polyèdres réguliers

Formules

Si l'on note ${\displaystyle P_{n}}$ le nombre de points à l'étape ${\displaystyle n}$ où il y a ${\displaystyle n}$ points dans chaque arête extérieure du polyèdre, on a les formules :

Nombre polyédrique	${\displaystyle P_{n}}$	Les dix premiers nombres	Rang OEIS
Nombre tétraédrique	${\displaystyle {\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}}$	1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220	suite A000292 de l'OEIS
Nombre cubique	${\displaystyle n^{3}}$	1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000	suite A000578 de l'OEIS
Nombre octaédrique	${\displaystyle {n(2n^{2}+1) \over 3}}$	1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670	suite A005900 de l'OEIS
Nombre dodécaédrique	${\displaystyle {n(3n-1)(3n-2) \over 2}}$	1, 20, 84, 220, 455, 816, 1330, 2024, 2925, 4060	suite A006566 de l'OEIS
Nombre icosaédrique	${\displaystyle {n(5n^{2}-5n+2) \over 2}}$	1, 12, 48, 124, 255, 456, 742, 1128, 1629, 2260	suite A006564 de l'OEIS

Principe d'obtention de ces formules

On considère un polyèdre régulier à S sommets, A arêtes, et F faces k-gonales et dont les sommets sont de degré d ({k,d} est le symbole de Schläfli) : Supposons que la figure de l'étape ${\displaystyle n-1}$ soit construite ; on obtient la figure de l'étape ${\displaystyle n}$ en ajoutant^[1],[2],[3] :

• ${\displaystyle S-1}$ nouveaux points situés aux ${\displaystyle S-1}$ nouveaux sommets,

• ${\displaystyle (n-2)(A-d)}$ nouveaux points situés à l'intérieur des ${\displaystyle A-d}$ nouvelles arêtes,
• ${\displaystyle (P_{k,n}-k(n-1))(F-d)}$ nouveaux points situés à l'intérieur des ${\displaystyle F-d}$ nouvelles faces, ${\displaystyle P_{k,n}}$ étant le nombre le nombre k-gonal d'ordre ${\displaystyle n}$.

Si l'on note ${\displaystyle P_{n}}$ le nombre de points à l'étape ${\displaystyle n}$, on a donc ${\displaystyle P_{n}-P_{n-1}=(S-1)+(A-d)(n-2)+(F-d)(P_{k,n}-k(n-1))}$.

Partant de ${\displaystyle P_{0}=0}$, on obtient donc ${\displaystyle P_{n}}$ en écrivant ${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}(P_{k}-P_{k-1})}$.

Avec les formules valables pour les 5 polyèdres réguliers, ${\displaystyle S={\frac {4k}{D}},A={\frac {2kd}{D}},F={\frac {4d}{D}}}$, où ${\displaystyle D=2(k+d)-kd}$, on obtient ${\displaystyle P_{n+1}-P_{n}={\frac {d(k-2)^{2}(d-2)}{2D}}n^{2}+{\frac {d(k-2)}{2}}n+1}$.

Cas des polyèdres réguliers tronqués

Si à chacun des S sommets de la construction précédente à l'étape ${\displaystyle 3n-2}$ on ôte une pyramide à base d'ordre d à l'étape ${\displaystyle n-1}$, on obtient les nombres polyédriques réguliers tronqués : ${\displaystyle PT_{n}=P_{3n-2}-S.P_{n-1}^{(d)}}$^[1] où ${\displaystyle P_{n-1}^{(d)}}$ est le nombre pyramidal d-gonal d'ordre ${\displaystyle n-1}$.

Nombre polyédrique tronqué	${\displaystyle PT_{n}}$	Les 5 premiers nombres	Rang OEIS
Nombre tétraédrique tronqué	${\displaystyle {\frac {n(23n^{2}-27n+10)}{6}}}$	1, 16, 68, 180, 375	suite A005906 de l'OEIS
Nombre cubique tronqué	${\displaystyle {\frac {77n^{3}-162n^{2}+112n-24}{6}}}$	1, 56, 311, 920, 2037	suite A005912 de l'OEIS
Nombre octaédrique tronqué	${\displaystyle 16n^{3}-33n^{2}+24n-6}$	1, 38, 201, 586, 1289	suite A005910 de l'OEIS
Nombre dodécaédrique tronqué	${\displaystyle {\frac {709n^{3}-1701n^{2}+1334n-336}{6}}}$	1, 200, 1250, 3860, 8739
Nombre icosaédrique tronqué	${\displaystyle {\frac {123n^{3}-291n^{2}+234n-64}{2}}}$	1, 112, 670, 2044, 4603

Cas des polyèdres réguliers augmentés

Si à chacune des F faces de la construction des nombres polyédriques réguliers à l'étape ${\displaystyle n}$ on ajoute une pyramide à base d'ordre k à l'étape ${\displaystyle n-1}$, on obtient les nombres polyédriques réguliers augmentés: ${\displaystyle PA_{n}=P_{n}+F.P_{n-1}^{(k)}}$^[1].

Par exemple, dans le cas de l'octaèdre, on obtient les nombres "stella octangula" :${\displaystyle SO_{n}=O_{n}+8P_{n-1}^{(3)}={\frac {n(2n^{2}+1)}{3}}+{\frac {4n(n^{2}-1)}{3}}=n(2n^{2}-1)}$, suite A007588 de l'OEIS.

Dans le cas du cube on obtient les nombres ${\displaystyle n^{3}+6{\frac {n(n-1)(2n-1)}{6}}=n(3n^{2}-3n+1)}$, égaux aux nombres prismatiques hexagonaux centrés, suite A005915 de l'OEIS.

Références

Voir aussi

• Nombre polyédrique centré
• Nombre 4-polytopique

• Arithmétique et théorie des nombres