Nombre de Cullen

En mathématiques, le n-ième nombre de Cullen l'entier C_n := n2ⁿ + 1. Les nombres de Cullen furent étudiés en premier par le jésuite irlandais James Cullen en 1905^[1]. Ils forment la suite d'entiers A002064 de l'OEIS : 1, 3, 9, 25, 65, 161, 385, etc.^[2].

Propriétés

Tous les C_n pour n > 0 sont des nombres de Proth.

Presque tous^[3] les nombres de Cullen sont composés ; les seuls nombres de Cullen premiers connus sont ceux correspondant aux seize valeurs suivantes de l'indice n :

1, 141, 4 713, 5 795, 6 611, 18 496, 32 292, 32 469, 59 656, 90 825, 262 419, 361 275, 481 899, 1 354 828, 6 328 548 et 6 679 881 (suite

A005849).

Cependant, on conjecture qu'il en existe une infinité d'autres^[4].

Le plus grand nombre de Cullen premier connu est 6 679 881 × 2^6679881 + 1. C'est un méganombre premier avec 2 010 852 chiffres (en base dix) et il a été découvert en 2009 par un participant japonais du projet PrimeGrid^[5].

Il découle du petit théorème de Fermat que si p est un nombre premier impair, alors p divise C_m(k) pour m(k) = (2^k − k)(p − 1) − k, pour tout k ≥ 0^[4].

Ce nombre p divise^[4] :

$C_{\frac {p+1}{2}}$ si le symbole de Legendre $\left({\frac {2}{p}}\right)$ est –1, c'est-à-dire si p est de la forme 8k ± 3 ;
$C_{\frac {3p-1}{2}}$ si le symbole de Legendre $\left({\frac {2}{p}}\right)$ est +1, c'est-à-dire si p est de la forme 8k ± 1.

On ignore s'il existe un nombre premier p tel que C_p soit aussi premier^[4].

Variantes

Certains auteurs appellent « nombres de Cullen généralisés^[4] » les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme nbⁿ + 1, où n + 2 > b.

Les nombres de Woodall sont quelquefois appelés « nombres de Cullen de deuxième espèce^[4] ».

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cullen number » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) J. Cullen, « Question 15897 », Educ. Times, décembre 1905, p. 534.
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Cullen Number », sur MathWorld, omet C₀ = 1.
↑ (en) Christopher Hooley, Applications of Sieve Methods to the Theory of Numbers, CUP, 1976 (ISBN 978-0-521-20915-1, zbMATH 0327.10044), p. 115-119.
↑ ^{a b c d e et f} (en) « Cullen prime », sur Prime Pages' Glossary.
↑ (en) « PrimeGrid’s Cullen Prime Search found a world record Cullen Mega Prime ».

v · m

Nombres premiers

Donnés par une formule

combinatoire	factoriel (n!±1) primoriel (p_n#±1) Euclide (p_n#+1)
polynomiale	Pythagore (4n + 1) cubain (x³ − y³)/(x − y) quatrain (x⁴ + y⁴)
exponentielle	Fermat (2^2ⁿ + 1) Mersenne (2^p – 1) Double de Mersenne (2^{2^p–1} –1) Pierpont (2^u3^v + 1) Carol ((2ⁿ – 1)² – 2) Kynea ((2ⁿ + 1)² – 2) Thebit (3·2ⁿ – 1) Wagstaff ((2^p + 1)/3) Proth (k2ⁿ + 1) Cullen (n2ⁿ + 1) Woodall (n2ⁿ – 1) Mills (⌊A^3ⁿ⌋)

Appartenant à une suite

Ayant une propriété remarquable

Ayant une propriété dépendant de la base

diédral
palindrome
Reimerp
répunit (10ⁿ − 1)/9
permutable
circulaire
délicat
tronquable
minimal
long
unique
Smarandache-Wellin
partie entière de puissances de constante
troncature de constante

Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres

singleton	Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {p_n ; p_n = (<, >) (p_n–1 + p_n+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier}
n-uplet	jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12)
suite	progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)