Nombre super-premier

Les nombres super-premiers (également appelés "nombres premiers d'ordre supérieur") sont la sous-suite de nombres premiers qui occupent des positions de premier-numérotée dans la séquence des nombres premiers. La sous-séquence commence ainsi

3, 5, 11, 17, 31, 41, 59, 67, 83, 109, 127, 157, 179, 191, 211, 241, 277, 283, 331, 353, 367, 401, 431, 461, 509, 547, 563, 587, 599, 617, 709, 739, 773, 797, 859, 877, 919, 967, 991, ... suite A006450 de l'OEIS.

Autrement dit, si p(i) représente le i-ième nombre premier, les nombres dans cette suite sont celles de la forme p(p(i)). Dressler et Parker (1975) ont utilisé une preuve assistée par ordinateur (basé sur des calculs impliquant le problème de la somme de sous-ensembles) pour montrer que tout nombre entier supérieur à 96 peut être représentée comme la somme de nombres super-premiers distincts. Leur démonstration repose sur un résultat qui ressemble au postulat de Bertrand, indiquant que (après le plus grand écart entre les super-premiers 5 et 11) chaque nombre super-premier est inférieur à deux fois son prédécesseur dans la suite.

Broughan et Barnett^[1] montrent qu'il y a

${\displaystyle {\frac {x}{(\log x)^{2}}}+O\left({\frac {x\log \log x}{(\log x)^{3}}}\right)}$

super-premiers jusqu'à x. Cela peut être utilisé pour montrer que l'ensemble de tous les super-premiers est petit.

On peut également définir un premier d'«ordre supérieur» de la même façon, et obtenir des séquences analogues de nombres premiers.^[évasif]

Une variation sur ce thème est la suite des nombres premiers avec des indices de premiers palindromiques, commençant par

3, 5, 11, 17, 31, 547, 739, 877, 1087, 1153, 2081, 2381, ... suite A124173 de l'OEIS.

79 a un indice palindromique, 22, mais qui n'est pas premier, il n'est donc pas premier palindromique.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Super-prime » (voir la liste des auteurs).

• (en) Robert E. Dressler et S. Thomas Parker, « Primes with a Prime Subscript », Journal of the ACM, vol. 22, n^o 3,‎ juillet 1975, p. 380–381 (ISSN 1557-735X, DOI 10.1145/321892.321900, MR 0376599, lire en ligne, consulté le 30 juillet 2023)
• Neil Fernandez, « An order of primeness, F(p) », sur borve.org, 1999 (consulté le 30 juillet 2023)

v · m Nombres premiers
Donnés par une formule	combinatoire factoriel (n!±1) primoriel (pn#±1) Euclide (pn#+1) polynomiale Pythagore (4n + 1) cubain (x3 − y3)/(x − y) quatrain (x4 + y4) exponentielle Fermat (22n + 1) Mersenne (2p – 1) Double de Mersenne (22p–1 –1) Pierpont (2u3v + 1) Carol ((2n – 1)2 – 2) Kynea ((2n + 1)2 – 2) Thebit (3·2n – 1) Wagstaff ((2p + 1)/3) Proth (k2n + 1) Cullen (n2n + 1) Woodall (n2n – 1) Mills (⌊A3n⌋)
Appartenant à une suite	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Pell Perrin Newman-Shanks-Williams
Ayant une propriété remarquable	bon chanceux fortuné Higgs illégal Pillai Ramanujan régulier Stern super supersingulier Wall-Sun-Sun Wieferich Paire de Wieferich Wilson Wolstenholme
Ayant une propriété dépendant de la base	diédral palindrome Reimerp répunit (10n − 1)/9 permutable circulaire délicat tronquable minimal long unique Smarandache-Wellin partie entière de puissances de constante troncature de constante
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres	singleton Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {pn ; pn = (<, >) (pn–1 + pn+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier} n-uplet jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) suite progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)
Classement par taille	titanesque (1 000+ chiffres) gigantesque (10 000+) méga (1 000 000+) record
Généralisations (entier quadratique)	Eisenstein Gauss
Nombre composé	pseudo-premier presque premier semi-premier interpremier
Nombre connexe	probable (NPP)
Test de primalité	Crible d'Ératosthène Test de Fermat Test de Lucas-Lehmer Test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne Test de Pépin Test de Miller-Rabbin Test de Solovay-Strassen Test AKS
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres	Conjecture d'Agoh-Giuga Conjecture d'Artin Conjecture de Bateman-Horn Conjecture de Bouniakovski Conjecture de Brocard Conjecture de Cramér Conjecture de Dickson Conjecture d'Elliott-Halberstam Conjecture de Firoozbakht Conjecture de Goldbach forte faible Conjecture de Grimm Conjecture de Hardy-Littlewood première seconde Conjecture de Legendre Conjecture de Lemoine Conjecture des nombres premiers de Waring Conjecture d'Oppermann Conjecture de Polignac Conjecture de Redmond-Sun Fonction de compte des nombres premiers Formules pour les nombres premiers Hypothèse H de Schinzel Nouvelle conjecture de Mersenne Théorème de Green-Tao Théorème des nombres premiers Théorème de la progression arithmétique Théorème de Rosser Théorème de Vinogradov
Constantes liées aux nombres premiers	Constante de Brun Constante de Legendre Constante de Mills Constante des nombres premiers Constante de Copeland-Erdős
Prime Pages Liste de nombres premiers Liste de suites de nombres premiers

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