Nombre de Woodall

En théorie des nombres, le n-ième nombre de Woodall est l'entier naturel ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{n}=n2^{n}-1.}$

Les nombres de Woodall ont été étudiés en premier par Cunningham (en) et Woodall (en) en 1917, inspirés par l'étude précédente de James Cullen sur les nombres de Cullen définis de manière similaire.

Les premiers sont 1, 7, 23, 63, 159, etc. (suite A003261 de l'OEIS).

Propriétés de divisibilité

Comme les nombres de Cullen, les nombres de Woodall ont beaucoup de propriétés de divisibilité. Par exemple, si p est un nombre premier, alors p divise

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{\frac {p+1}{2}}}$ si le symbole de Jacobi ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$ est +1 et

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{\frac {3p-1}{2}}}$ si le symbole de Jacobi ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$ est −1^[1].

Hiromi Suyama a démontré que presque tous les nombres de Woodall sont composés^[2].

Nombres de Woodall premiers

On conjecture cependant qu'il existe une infinité de nombres de Woodall premiers^[1].

Les premiers sont 7, 23, 383, 32 212 254 719, etc. (suite A050918 de l'OEIS) et les indices n correspondants sont 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, etc. (suite  A002234).

Au 26 décembre 2007, le plus grand nombre de Woodall premier connu est 3 752 948 × 2^{3 752 948} − 1^[3]. Ce nombre de 1 129 757 chiffres a été découvert par l'américain Matthew J. Thompson du projet de calcul distribué PrimeGrid.

Nombres de Woodall généralisés

Un nombre de Woodall généralisé^[1] est un nombre de la forme nbⁿ – 1, où n + 2 > b.

Notes et références

Voir aussi

Article connexe

Nombre de Riesel

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Woodall number », sur MathWorld

v · m Nombres premiers
Donnés par une formule	combinatoire factoriel (n!±1) primoriel (pn#±1) Euclide (pn#+1) polynomiale Pythagore (4n + 1) cubain (x3 − y3)/(x − y) quatrain (x4 + y4) exponentielle Fermat (22n + 1) Mersenne (2p – 1) Double de Mersenne (22p–1 –1) Pierpont (2u3v + 1) Carol ((2n – 1)2 – 2) Kynea ((2n + 1)2 – 2) Thebit (3·2n – 1) Wagstaff ((2p + 1)/3) Proth (k2n + 1) Cullen (n2n + 1) Woodall (n2n – 1) Mills (⌊A3n⌋)
Appartenant à une suite	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Pell Perrin Newman-Shanks-Williams
Ayant une propriété remarquable	bon chanceux fortuné Higgs illégal Pillai Ramanujan régulier Stern super supersingulier Wall-Sun-Sun Wieferich Paire de Wieferich Wilson Wolstenholme
Ayant une propriété dépendant de la base	diédral palindrome Reimerp répunit (10n − 1)/9 permutable circulaire délicat tronquable minimal long unique Smarandache-Wellin partie entière de puissances de constante troncature de constante
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres	singleton Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {pn ; pn = (<, >) (pn–1 + pn+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier} n-uplet jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) suite progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)
Classement par taille	titanesque (1 000+ chiffres) gigantesque (10 000+) méga (1 000 000+) record
Généralisations (entier quadratique)	Eisenstein Gauss
Nombre composé	pseudo-premier presque premier semi-premier interpremier
Nombre connexe	probable (NPP)
Test de primalité	Crible d'Ératosthène Test de Fermat Test de Lucas-Lehmer Test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne Test de Pépin Test de Miller-Rabbin Test de Solovay-Strassen Test AKS
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres	Conjecture d'Agoh-Giuga Conjecture d'Artin Conjecture de Bateman-Horn Conjecture de Bouniakovski Conjecture de Brocard Conjecture de Cramér Conjecture de Dickson Conjecture d'Elliott-Halberstam Conjecture de Firoozbakht Conjecture de Goldbach forte faible Conjecture de Grimm Conjecture de Hardy-Littlewood première seconde Conjecture de Legendre Conjecture de Lemoine Conjecture des nombres premiers de Waring Conjecture d'Oppermann Conjecture de Polignac Conjecture de Redmond-Sun Fonction de compte des nombres premiers Formules pour les nombres premiers Hypothèse H de Schinzel Nouvelle conjecture de Mersenne Théorème de Green-Tao Théorème des nombres premiers Théorème de la progression arithmétique Théorème de Rosser Théorème de Vinogradov
Constantes liées aux nombres premiers	Constante de Brun Constante de Legendre Constante de Mills Constante des nombres premiers Constante de Copeland-Erdős
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