Número de Proth

Em teoria dos números, um número de Proth é um número da forma

N=k\cdot 2^{n}+1

onde $k$ é um número inteiro ímpar positivo e $n$ é um inteiro positivo tal que $2^{n}>k$ . São denominados em memória do matemático François Proth. Os primeiros números de Proth são

3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241 (sequência A080075 na OEIS).

Os números de Cullen (números da forma n·2ⁿ + 1) e números de Fermat (números da forma 2^2ⁿ + 1) são casos especiais dos números de Proth. Sem a condição de que $2^{n}>k$ , todos os inteiros ímpares maiores que 1 seriam números de Proth.^[1]

Primos de Proth

Um primo de Proth é um número de Proth que é um número primo. Os primeiros primos de Proth são

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857 (OEIS: A080076).

A primalidade de um número de Proth pode ser testada com o teorema de Proth, que estabelece^[2] que um número de Proth $p$ é primo se e somente se existe um inteiro $a$ para o qual

a^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1{\pmod {p}}.

O maior conhecido primo de Proth (em 2016) é $10223\cdot 2^{31172165}+1$ , que tem 9 383 761 dígitos.^[3] Foi encontrado por Szabolcs Peter no distributed computing project do PrimeGrid anunciado em 6 de novembro de 2016.^[4] É também o maior conhecido não-primo de Mersenne.^[5]

Ver também

Número de Sierpiński
PrimeGrid

Referências

↑ Weisstein, Eric W. «Proth Number» (em inglês). MathWorld
↑ Weisstein, Eric W. «Proth's Theorem» (em inglês). MathWorld
↑ Caldwell, Chris. «The Top Twenty: Proth». The Prime Pages
↑ Van Zimmerman (30 de novembro de 2016) [9 Nov 2016]. «World Record Colbert Number discovered!». PrimeGrid
↑ Caldwell, Chris. «The Top Twenty: Largest Known Primes». The Prime Pages

Ligações externas

Grime, Dr. James. «78557 and Proth Primes» (video). YouTube. Brady Haran. Consultado em 2 de setembro de 2018

v d e Classes de números primos
Por fórmula	Fermat $(2^{2^{n}}+1)$ Mersenne $(2^{p}-1)$ Duplo de Mersenne $(2^{2^{p}-1}-1)$ Wagstaff ${\frac {(2^{p}+1)}{3}}$ Proth $(k\cdot 2^{n}+1)$ Factorial $(n!\pm 1)$ Primorial $(p_{n}\#\pm 1)$ Euclides $(p_{n}\#+1)$ Pitagórico $(4n+1)$ Pierpont $(2^{u}\cdot 3^{v}+1)$ Solinas $(2^{a}\pm 2^{b}\pm 1)$ Cullen $(n\cdot 2^{n}+1)$ Woodall $(n\cdot 2^{n}-1)$ Cubano ${\frac {(x^{3}-y^{3})}{(x-y)}}$ Carol ${(2^{n}-1)}^{2}-2$ Kynea ${(2^{n}+1)}^{2}-2$ Leyland $(x^{y}+y^{x})$ Thabit $(3\cdot 2^{n}-1)$ Mills (chão $(A^{3^{n}})$ )
Por sequência de inteiros	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Partições Pell Perrin Newman–Shanks–Williams
Por propriedade	Da sorte Wall–Sun–Sun Wilson Wieferich Par de Wieferich Afortunado Ramanujan Pillai Regular Forte Stern Supersingular Wolstenholme Bom Superprimo Higgs Altamente cototiente Ilegal
Dependentes de bases	Feliz Diédrico Palíndromo Omirp Repunit ${\frac {(10^{n}-1)}{9}}$ Permutável Circular Estrobogramático Mínimo Longo único Primeval Auto Smarandache–Wellin
Padrões	Gémeos $(p,p+2)$ Tripla $(p,p+2~ou~p+4,p+6)$ Quádrupla $(p,p+2,p+6,p+8)$ Tuplo Primos primos $(p,p+4)$ Sexy $(p,p+6)$ Chen Sophie Germain $(p,2p+1)$ Cadeia de Cunningham $(p,2p\pm 1,\ldots )$ Seguro $(p,{\frac {(p-1)}{2}})$ Progressão aritmética $(p+a\cdot n,n=0,1,\ldots )$ Equilibrado (consecutivos $p-n,p,p+n)$
Por dimensão	Titânico ( $1000+$ dígitos) Gigantesco ( $10000+$ ) Megaprimo ( $1000000+$ ) Maior conhecido
Números complexos	Eisenstein Gauss
Números compostos	Número pseudoprimo Quase primo Semiprimo Interprimo
Tópicos relacionados	Provável Nível industrial Fórmula para números primos Intervalo entre números primos consecutivos
Lista de números primos

Classes de números naturais

Potências e números relacionados

Aquiles
Potência de 2
Potência de 10
Quadrado
Cubo
Quarta potência
Quinta potência
Potência perfeita
Potente
Potência prima

Da forma a × 2^b ± 1

Outros números polinomiais

Carol
Hilbert
Idôneo
Kynea
Leyland
Números da sorte de Euler
Repunit

Números definidos recursivamente

Possuindo um conjunto específico
de outros números

Knödel
Riesel
Sierpiński

Expressáveis via somas específicas

Não-hipotenusa
Polido
Prático
Primário pseudoperfeito
Ulam
Wolstenholme

Gerado via uma teoria dos crivos

Sorte

Relacionado a codificação

Meertens

Números figurados

centrado	Triangular centrado Quadrado centrado Pentagonal centrado Hexagonal centrado Heptagonal centrado Octagonal centrado Nonagonal centrado Decagonal centrado Estrela
não-centrado	Triangular quadrado Quadrado triangular Pentagonal Hexagonal Heptagonal Octagonal Nonagonal Decagonal Dodecagonal

centrado	Tetraédrico centrado Cúbico centrado Octaédrico centrado Dodecaédrico centrado Icosaédrico centrado
Não-centrado	Tetraédrico Octaédrico Dodecaédrico Icosaédrico Stella octangula
Piramidal	Piramidal quadrado Piramidal pentagonal Piramidal hexagonal Piramidal heptagonal

centrado	Pentácoro centrado Triangular quadrado
Não-centrado	Pentácoro

Pseudoprimos

Número de Carmichael
Pseudoprimo de Catalan
Pseudoprimo elíptico
Pseudoprimo de Euler
Pseudoprimo de Euler–Jacobi
Pseudoprimo de Fermat
Pseudoprimo de Frobenius
Pseudoprimo de Lucas
Pseudoprimo de Somer–Lucas
Pseudoprimo forte

Números combinatoriais

Bell
Bolo
Catalan
Dedekind
Delannoy
Euler
Fuss–Catalan
Número poligonal central
Lobb
Motzkin
Narayana
Ordenado de Bell
Schröder
Schröder–Hipparchus

Funções aritméticas

Por propriedades de σ(n)	Abundante Quase perfeito Aritmético Colossalmente abundante Descartes Hemiperfeito Altamente abundante Altamente composto Hyperperfeito Multiplamente perfeito Perfeito Número prático Primitivo abundante Quase perfeito Refactorável Sublime Superabundante Superior altamente composto Superperfeito
Por propriedades de Ω(n)	Quasi-primo Semiprimo
Por propriedades de φ(n)	Altamente cototiente Altamente totiente Não-cototiente Não-totiente Perfeito totiente Esparsamente totiente
Por propriedades de s(n)	Amigo Quasi-amigo Defectivo Semiperfeito