Sequência de Lucas

 Nota: Não confundir com números de Lucas (uma sequência de Lucas específica)

Em matemática, as sequências de Lucas U n ( P , Q ) {\displaystyle U_{n}(P,Q)} e V n ( P , Q ) {\displaystyle V_{n}(P,Q)} são certas sequências de inteiros que satisfazem a relação de recorrência

x n = P x n 1 Q x n 2 , {\displaystyle x_{n}=Px_{n-1}-Qx_{n-2},}
em que P {\displaystyle P} e Q {\displaystyle Q} são inteiros fixos. Qualquer outra sequência satisfazendo esta relação de recorrência pode ser representada como uma combinação linear das sequências de Lucas U n ( P , Q ) {\displaystyle U_{n}(P,Q)} e V n ( P , Q ) . {\displaystyle V_{n}(P,Q).}

Mais geralmente, sequências de Lucas representam sequências de polinômios em P {\displaystyle P} e Q {\displaystyle Q} com coeficientes inteiros.

Entre os exemplos de sequências de Lucas estão os números de Fibonacci, os números de Mersenne, os números de Pell, os números de Lucas, os números de Jacobsthal e um superconjunto dos números de Fermat. As sequências de Lucas recebem o nome do matemático francês Édouard Lucas.[1]

Relações de recorrência

Dados dois parâmetros inteiros P {\displaystyle P} e Q , {\displaystyle Q,} as sequências de Lucas do primeiro e segundo tipo, U n ( P , Q ) {\displaystyle U_{n}(P,Q)} e V n ( P , Q ) {\displaystyle V_{n}(P,Q)} respectivamente, são definidas pelas relações de recorrência:

U 0 ( P , Q ) = 0 , {\displaystyle U_{0}(P,Q)=0,}
U 1 ( P , Q ) = 1 , {\displaystyle U_{1}(P,Q)=1,}
U n ( P , Q ) = P U n 1 ( P , Q ) Q U n 2 ( P , Q )  para  n > 1 , {\displaystyle U_{n}(P,Q)=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q){\mbox{ para }}n>1,}

e

V 0 ( P , Q ) = 2 , {\displaystyle V_{0}(P,Q)=2,}
V 1 ( P , Q ) = P , {\displaystyle V_{1}(P,Q)=P,}
V n ( P , Q ) = P V n 1 ( P , Q ) Q V n 2 ( P , Q )  para  n > 1 , {\displaystyle V_{n}(P,Q)=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q){\mbox{ para }}n>1,}

Não é difícil mostrar que para n > 0 , {\displaystyle n>0,}

U n ( P , Q ) = P U n 1 ( P , Q ) + V n 1 ( P , Q ) 2 , {\displaystyle U_{n}(P,Q)={\frac {P\cdot U_{n-1}(P,Q)+V_{n-1}(P,Q)}{2}},}
V n ( P , Q ) = ( P 2 4 Q ) U n 1 ( P , Q ) + P V n 1 ( P , Q ) 2 . {\displaystyle V_{n}(P,Q)={\frac {(P^{2}-4Q)\cdot U_{n-1}(P,Q)+P\cdot V_{n-1}(P,Q)}{2}}.}

Exemplos

A tabela a seguir fornece os primeiros termos das sequências de Lucas U n ( P , Q ) {\displaystyle U_{n}(P,Q)} e V n ( P , Q ) : {\displaystyle V_{n}(P,Q):}

n U n ( P , Q ) V n ( P , Q ) 0 0 2 1 1 P 2 P P 2 2 Q 3 P 2 Q P 3 3 P Q 4 P 3 2 P Q P 4 4 P 2 Q + 2 Q 2 5 P 4 3 P 2 Q + Q 2 P 5 5 P 3 Q + 5 P Q 2 6 P 5 4 P 3 Q + 3 P Q 2 P 6 6 P 4 Q + 9 P 2 Q 2 2 Q 3 {\displaystyle {\begin{array}{r|l|l}n&U_{n}(P,Q)&V_{n}(P,Q)\\\hline 0&0&2\\1&1&P\\2&P&{P}^{2}-2Q\\3&{P}^{2}-Q&{P}^{3}-3PQ\\4&{P}^{3}-2PQ&{P}^{4}-4{P}^{2}Q+2{Q}^{2}\\5&{P}^{4}-3{P}^{2}Q+{Q}^{2}&{P}^{5}-5{P}^{3}Q+5P{Q}^{2}\\6&{P}^{5}-4{P}^{3}Q+3P{Q}^{2}&{P}^{6}-6{P}^{4}Q+9{P}^{2}{Q}^{2}-2{Q}^{3}\end{array}}}

Nomes específicos

As sequências de Lucas para alguns valores de P {\displaystyle P} e Q {\displaystyle Q} recebem nomes específicos:

Un(1,−1) : números de Fibonacci
Vn(1,−1) : números de Lucas
Un(2,−1) : números de Pell
Vn(2,−1) : números de Pell-Lucas
Un(1,−2) : números de Jacobsthal
Vn(1,−2) : números de Jacobsthal-Lucas
Un(3, 2) : números de Mersenne 2n − 1
Vn(3, 2) : números de forma 2n + 1, que incluem os números de Fermat (Yubuta 2001).
Un(x,−1) : polinômios de Fibonacci
Vn(x,−1) : polinômios de Lucas
Un(x+1, x) : Repunits de base x
Vn(x+1, x) : xn + 1

Algumas sequências de Lucas têm entradas na enciclopédia online de sequências de inteiros (OEIS):

P {\displaystyle P} Q {\displaystyle Q} U n ( P , Q ) {\displaystyle U_{n}(P,Q)} V n ( P , Q ) {\displaystyle V_{n}(P,Q)}
-1 3 A214733
1 -1 A000045 A000032
1 1 A128834 A087204
1 2 A107920
2 -1 A000129 A002203
2 1 A001477
2 2 A009545 A007395
2 3 A088137
2 4 A088138
2 5 A045873
3 -5 A015523 A072263
3 -4 A015521 A201455
3 -3 A030195 A172012
3 -2 A206776
3 -1 A006190 A006497
3 1 A001906 A005248
3 2 A000225 A000051
3 5 A190959
4 -3 A015530 A080042
4 -2 A090017
4 -1 A001076 A014448
4 1 A001353 A003500
4 2 A056236
4 3 A003462 A034472
4 4 A001787
5 -3 A015536
5 -2 A015535
5 -1 A087130
5 1 A003501
5 4 A002450 A052539

Aplicações

Tais sequências têm aplicações na Teoria de Números[2] e na prova que um dado número é primo (primalidade).

Referências

  1. «Lucas Numbers | Brilliant Math & Science Wiki». brilliant.org (em inglês). Consultado em 17 de agosto de 2021 
  2. Pontes, Fabiany Lais Gomes de; Gobbi, Cristiano Rodrigo; Sousa, Enne Karol Venancio de (25 de agosto de 2018). «AS CONTRIBUIÇÕES DE ÉDOUARD LUCAS PARA A TEORIA DOS NÚMEROS.». Boletim Cearense de Educação e História da Matemática (14): 243–252. ISSN 2447-8504. doi:10.30938/bocehm.v5i14.231. Consultado em 17 de agosto de 2021 

Ligações externas

  • Número de Lucas em mathworld
  • v
  • d
  • e
Potências e números relacionados
Da forma a × 2b ± 1
Outros números polinomiais
  • Carol
  • Hilbert
  • Idôneo
  • Kynea
  • Leyland
  • Números da sorte de Euler
  • Repunit
Números definidos recursivamente
Possuindo um conjunto específico
de outros números
Expressáveis via somas específicas
  • Não-hipotenusa
  • Polido
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  • Primário pseudoperfeito
  • Ulam
  • Wolstenholme
Gerado via uma teoria dos crivos
  • Sorte
Relacionado a codificação
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Números figurados
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  • Decagonal centrado
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não-centrado
3D
centrado
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Não-centrado
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  • Perfeito
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  • Quase perfeito
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Por propriedades de Ω(n)
Por propriedades de φ(n)
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  • Não-totiente
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