Hypergeometriska funktionen

Hypergeometriska funktionen 2F1(a,b;c;z) är en väldigt viktig speciell funktion som har flera andra speciella funktioner som specialfall.

Historia

Termen "hypergeometrisk serie" användes först av John Wallis 1655 i hans bok Arithmetica Infinitorum.

Hypergeometriska serier undersöktes av Leonhard Euler, men den första systematiska studien utfördes av Carl Friedrich Gauss 1813.

På 1800-talet undersökte även Ernst Kummer (1836) och Bernhard Riemann (1857) hypergeometriska serier. Riemann karakteriserade hypergeoemtriska funktionen med hjälp av en differentialekvation som den satisfierar.

Definition

Hypergeometriska funktionen definieras inte för |z| < 1 som serien

2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ∑ n = 0 ∞ ( a ) n ( b ) n ( c ) n z n n ! . {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}.}

Den är odefinierad om c är ett icke-positivt heltal. Här är (x)n Pochhammersymbolen

( x ) n = { 1 n = 0 x ( x + 1 ) ⋯ ( x + n − 1 ) n > 0. {\displaystyle (x)_{n}={\begin{cases}1&n=0\\x(x+1)\cdots (x+n-1)&n>0.\end{cases}}}

Specialfall

Ett stort antal matematiska funktioner kan uttryckas med hjälp av hypergeometriska funktionen. Några typiska exempel är

ln ⁡ ( 1 + z ) = z 2 F 1 ( 1 , 1 ; 2 ; − z ) ( 1 − z ) − a = 2 F 1 ( a , 1 ; 1 ; z ) arcsin ⁡ ( z ) = z 2 F 1 ( 1 2 , 1 2 ; 3 2 ; z 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+z)&=z\,_{2}F_{1}(1,1;2;-z)\\(1-z)^{-a}&=\,_{2}F_{1}(a,1;1;z)\\\arcsin(z)&=z\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {3}{2}};z^{2}\right).\end{aligned}}}

Legendrepolynomen är också specialfall:

2 F 1 ( a , 1 − a ; c ; z ) = Γ ( c ) z 1 − c 2 ( 1 − z ) c − 1 2 P − a 1 − c ( 1 − 2 z ) . {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z).}

Meixner–Pollaczekpolynomen:

P n ( λ ) ( x ; ϕ ) = ( 2 λ ) n n ! e i n ϕ 2 F 1 ( − n , λ + i x ; 2 λ ; 1 − e − 2 i ϕ ) . {\displaystyle P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )={\frac {(2\lambda )_{n}}{n!}}e^{in\phi }{}_{2}F_{1}(-n,\lambda +ix;2\lambda ;1-e^{-2i\phi }).}

Flera viktiga ortogonala polynom, såsom Jacobipolynomen, kan också skrivas med hjälp av hypergeometriska funktionen:

2 F 1 ( − n , α + 1 + β + n ; α + 1 ; x ) = n ! ( α + 1 ) n P n ( α , β ) ( 1 − 2 x ) . {\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x).}

Ofullständiga betafunktionen Bx(p,q):

B x ( p , q ) = x p p 2 F 1 ( p , 1 − q ; p + 1 ; x ) {\displaystyle B_{x}(p,q)={\tfrac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x)}

Elliptiska integraler:

K ( k ) = π 2 2 F 1 ( 1 2 , 1 2 ; 1 ; k 2 ) {\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)}
E ( k ) = π 2 2 F 1 ( − 1 2 , 1 2 ; 1 ; k 2 ) . {\displaystyle E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}

Elliptiska modulära funktioner kan ibland uttryckas som inversa funktionen till ett kvot av hypergeometriska funktioner vars argument a, b, c är 1, 1/2, 1/3, ... eller 0. Exempelvis om

τ = i 2 F 1 ( 1 2 , 1 2 ; 1 ; 1 − z ) 2 F 1 ( 1 2 , 1 2 ; 1 ; z ) {\displaystyle \tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z\right)}{{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z\right)}}}

är

z = κ 2 ( τ ) = θ 2 ( τ ) 4 θ 3 ( τ ) 4 {\displaystyle z=\kappa ^{2}(\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}}

en elliptisk modulär funktion av τ.

Vissa elementära funktioner är gränsvärden av hypergeometriska funktionen:

e x = lim n → ∞ F ( 1 , n ; 1 ; x n ) {\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }F(1,n;1;{x \over n})}
cos ⁡ x = lim a , b → ∞ F ( a , b ; 1 2 ; − x 2 4 a b ) {\displaystyle \cos x=\lim _{a,\;b\to \infty }F\left(a,b;{\frac {1}{2}};-{\frac {x^{2}}{4ab}}\right)}
cosh ⁡ x = lim a , b → ∞ F ( a , b ; 1 2 ; x 2 4 a b ) {\displaystyle \cosh x=\lim _{a,\;b\to \infty }F\left(a,b;{\frac {1}{2}};{x^{2} \over 4ab}\right)}

Integralformler

Om B är betafunktionen är

B ( b , c − b ) 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ∫ 0 1 x b − 1 ( 1 − x ) c − b − 1 ( 1 − z x ) − a d x ℜ ( c ) > ℜ ( b ) > 0 {\displaystyle \mathrm {B} (b,c-b)\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \Re (c)>\Re (b)>0}

om |z| < 1 eller |z| = 1 och båda membrum konvergerar. Formeln kan bevisas genom att utveckla (1 − zx)−a i en serie med binomialsatsen och integrera termvis. Formeln upptäcktes av Euler 1748.

Transformationer

Eulers transformation är

2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ( 1 − z ) c − a − b 2 F 1 ( c − a , c − b ; c ; z ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)}

som följer genom att kombinera Ptaffs transformationer

2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ( 1 − z ) − b 2 F 1 ( b , c − a ; c ; z z − 1 ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)}
2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ( 1 − z ) − a 2 F 1 ( a , c − b ; c ; z z − 1 ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)}

som igen följer ur Eulers integralrepresentation.

En kvadratisk transformation är

F ( a , b ; 2 b ; z ) = ( 1 − z ) − a 2 F ( 1 2 a , b − 1 2 a ; b + 1 2 ; z 2 4 z − 4 ) . {\displaystyle F(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}F\left({\tfrac {1}{2}}a,b-{\tfrac {1}{2}}a;b+{\tfrac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{4z-4}}\right).}

En kubisk transformation är

F ( 3 2 a , 1 2 ( 3 a − 1 ) ; a + 1 2 ; − z 2 3 ) = ( 1 + z ) 1 − 3 a F ( a − 1 3 , a , 2 a , 2 z ( 3 + z 2 ) ( 1 + z ) − 3 ) . {\displaystyle F\left({\tfrac {3}{2}}a,{\tfrac {1}{2}}(3a-1);a+{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}F\left(a-{\tfrac {1}{3}},a,2a,2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right).}

Värden vid speciella punkter

Gauss sats är

2 F 1 ( a , b ; c ; 1 ) = Γ ( c ) Γ ( c − a − b ) Γ ( c − a ) Γ ( c − b ) , ℜ ( c ) > ℜ ( a + b ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\qquad \Re (c)>\Re (a+b)}

som följer genom att sätta z = 1 i Eulers integralrepresentation.

Kummers sats är

2 F 1 ( a , b ; 1 + a − b ; − 1 ) = Γ ( 1 + a − b ) Γ ( 1 + 1 2 a ) Γ ( 1 + a ) Γ ( 1 + 1 2 a − b ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}}

som följer ur Kummers kvadratiska transformationer

2 F 1 ( a , b ; 1 + a − b ; z ) = ( 1 − z ) − a 2 F 1 ( a 2 , 1 + a 2 − b ; 1 + a − b ; − 4 z ( 1 − z ) 2 ) = ( 1 + z ) − a 2 F 1 ( a 2 , a + 1 2 ; 1 + a − b ; 4 z ( 1 + z ) 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}\right)\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1}{2}};1+a-b;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right)\end{aligned}}}

och Gauss sats genom att sätta z = −1 i första identiteten.

Gauss andra sats är

2 F 1 ( a , b ; 1 2 ( 1 + a + b ) ; 1 2 ) = Γ ( 1 2 ) Γ ( 1 2 ( 1 + a + b ) ) Γ ( 1 2 ( 1 + a ) ) Γ ( 1 2 ( 1 + b ) ) . {\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}

Baileys sats är

2 F 1 ( a , 1 − a ; c ; 1 2 ) = Γ ( 1 2 c ) Γ ( 1 2 ( 1 + c ) ) Γ ( 1 2 ( c + a ) ) Γ ( 1 2 ( 1 + c − a ) ) . {\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}

Identiteter

27 ( z − 1 ) 2 ⋅ 2 F 1 ( 1 4 , 3 4 ; 2 3 ; z ) 8 + 18 ( z − 1 ) ⋅ 2 F 1 ( 1 4 , 3 4 ; 2 3 ; z ) 4 − 8 ⋅ 2 F 1 ( 1 4 , 3 4 ; 2 3 ; z ) 2 = 1 {\displaystyle 27\,(z-1)^{2}\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}};{\tfrac {2}{3}};z\right)^{8}+18\,(z-1)\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}};{\tfrac {2}{3}};z\right)^{4}-8\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}};{\tfrac {2}{3}};z\right)^{2}=1}

Ett intressant specialfall av identiteten ovan är följande:

2 F 1 ( 1 4 , 3 4 ; 2 3 ; 1 3 ) = 1 4 2 − 4 3 + 4 3 + 4 − 2 − 4 3 − 2 . {\displaystyle _{2}F_{1}\left({\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}};\,{\frac {2}{3}};\,{\frac {1}{3}}\right)={\frac {1}{\sqrt {{\sqrt {{\frac {4}{\sqrt {2-{\sqrt[{3}]{4}}}}}+{\sqrt[{3}]{4}}+4}}-{\sqrt {2-{\sqrt[{3}]{4}}}}-2}}}.}

Gauss kedjebråk

Gauss kedjebråk är

2 F 1 ( a + 1 , b ; c + 1 ; z ) 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = 1 1 + ( a − c ) b c ( c + 1 ) z 1 + ( b − c − 1 ) ( a + 1 ) ( c + 1 ) ( c + 2 ) z 1 + ( a − c − 1 ) ( b + 1 ) ( c + 2 ) ( c + 3 ) z 1 + ( b − c − 2 ) ( a + 2 ) ( c + 3 ) ( c + 4 ) z 1 + ⋱ {\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hypergeometric function, 16 november 2013.
v • r
Speciella funktioner
Gamma- och relaterade funktioner
Gammafunktionen · Betafunktionen · Digammafunktionen · Trigammafunktionen · Polygammafunktionen · Ofullständiga gammafunktionen · Barnes G-funktion
Zeta- och L-funktioner
Riemanns zetafunktion · Dirichlets L-funktion · Dedekinds zetafunktion · Artins L-funktion · Hasse–Weils L-funktion · Motiviska L-funktionen
Besselfunktioner och relaterade funktioner
Elliptiska funktioner och thetafunktioner
Hypergeometriska funktioner
Hypergeometriska funktionen · Generaliserad hypergeometrisk funktion · Bilateral hypergeometrisk serie · Fox–Wrights funktion · Meijers G-funktion · Fox H-funktion · Kampé de Fériets funktion
Ortogonala polynom
Andra funktioner