Liczby doskonałe

Liczba doskonała – liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych naturalnych dzielników właściwych (to znaczy od niej mniejszych)^[1]. Korzystając z pojęcia funkcji σ, można liczby doskonałe definiować jako te, dla których zachodzi warunek:

${\displaystyle \sigma (n)=2n.}$

Najmniejszą liczbą doskonałą jest ${\displaystyle 6}$, ponieważ ${\displaystyle 6=3+2+1.}$ Następną jest ${\displaystyle 28,}$ ponieważ ${\displaystyle 28=14+7+4+2+1.}$

Kolejnymi są ${\displaystyle 496,}$ ${\displaystyle 8128,}$ ${\displaystyle 33550336,}$ ${\displaystyle 8589869056,}$ ${\displaystyle 137438691328}$ i ${\displaystyle 2305843008139952128.}$

Największą znaną obecnie (7 grudnia 2018) liczbą doskonałą jest ${\displaystyle 2^{82589932}\cdot (2^{82589933}-1),}$ liczy ona 49 724 095 cyfr w rozwinięciu dziesiętnym^[2].

Wszystkie znane liczby doskonałe są parzyste. Nie udało się dotąd znaleźć żadnej liczby doskonałej nieparzystej, ani dowodu, że liczby takie nie istnieją.

Metoda Euklidesa znajdowania liczb doskonałych

W IX księdze Elementów, najstarszym piśmie opisującym liczby doskonałe, Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych^[3]:

należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki ${\displaystyle 1+2+4+8+\dots }$ Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą, należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą.

Sposób podany przez Euklidesa każe badać kolejno sumy:

${\displaystyle 1+2^{1},\quad 1+2^{1}+2^{2},\quad 1+2^{1}+2^{2}+2^{3},\quad \dots }$

Są to sumy ciągu geometrycznego o ilorazie ${\displaystyle 2,}$ więc mają one postać ${\displaystyle 2^{i}-1.}$ Jeśli któraś z tych liczb ${\displaystyle 2^{i}-1}$ okaże się liczbą pierwszą, to ${\displaystyle (2^{i}-1)\cdot 2^{i-1}}$ jest liczbą doskonałą.

Własności

Leonhard Euler udowodnił, że każda liczba doskonała parzysta ma postać ${\displaystyle (2^{p}-1)2^{p-1},}$ gdzie ${\displaystyle 2^{p}-1}$ jest liczbą pierwszą (nietrudno pokazać, że wtedy również ${\displaystyle p}$ jest liczbą pierwszą) – daje to wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość liczb doskonałych parzystych z liczbami pierwszymi Mersenne’a.

Euler udowodnił, że każda liczba doskonała nieparzysta musi być postaci ${\displaystyle p^{4k+1}l^{2},}$ gdzie ${\displaystyle p}$ jest liczbą pierwszą postaci ${\displaystyle 4m+1.}$ Wiadomo też, że jeśli liczba taka istnieje, to musi być większa od ${\displaystyle 10^{1500}.}$

Zobacz też

• liczby towarzyskie
• liczby zaprzyjaźnione

Przypisy

Bibliografia

• Wacław Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna.
• Włodzimierz Holsztyński, Liczby doskonałe, Delta, 12(403), s. 1–3.
• Władysław Narkiewicz, Nieparzyste Liczby doskonałe, Delta, 12(403), s. 4.

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

• Tomasz Miller, Liczby pierwsze i doskonałe, kanał Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych na YouTube, 27 października 2022 [dostęp 2024-03-25].

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Perfect Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Odd Perfect Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Perfect number, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25].
• Derek Muller, The Oldest Unsolved Problem in Math, kanał Veritasium na YouTube, 8 marca 2024 [dostęp 2024-03-25].
• Mersenne Prime Search
• Odd Perfect Number Search. oddperfect.org. [zarchiwizowane z tego adresu (2018-11-06)].