Nyolcszögszámok

A nyolcszögszámok a figurális számokon belül a sokszögszámok közé tartoznak. Az n-edik nyolcszögszám o_n a közös csúcsból rajzolt, legfeljebb n pont oldalhosszúságú szabályos nyolcszögek körvonalai egymástól különböző pontjainak száma.

Az n-edik nyolcszögszám általánosan a következő képlettel adható meg:

${\displaystyle o_{n}=3n^{2}-2n\quad (n>0)}$.

Az első néhány nyolcszögszám: 1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, 341, 408, 481, 560, 645, 736, 833, 936, 1045, 1160, 1281, 1408, 1541, 1680, 1825, 1976, 2133 … (A000567 sorozat az OEIS-ben)

A nyolcszögszámok előállíthatók egy négyzet négy oldalára háromszögszámok állításával. Ezt algebrailag kifejezve, az n-edik nyolcszögszám éppen:

${\displaystyle x_{n}=n^{2}+4\sum _{k=1}^{n-1}k=3n^{2}-2n.}$

Az n-edik nyolcszögszám megkapható az n négyzetének és az (n - 1)-edik téglalapszámnak az összeadásával is.

Párosság

A nyolcszögszámok párossága váltakozik.

Általánosított nyolcszögszámok

Az általánosított nyolcszögszámok is a fenti képlettel állíthatók elő, de a nullát és a negatív egész számokat is megengedve. A következő sorrendben szokás az általánosított nyolcszögszámokat előállítani: 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4..., ami a következő sorozatot adja:

0, 1, 5, 8, 16, 21, 33, 40, 56, 65, 85, 96, 120, 133, 161, 176, 208 … (A001082 sorozat az OEIS-ben)

Minden második általánosított nyolcszögszám „normál” nyolcszögszám is egyben.

A nyolcszögszámokat időnként csillagszámoknak is nevezik, de ezt a kifejezést általában inkább a középpontos tizenkétszögszámokra alkalmazzák.^[1]

Tesztelés nyolcszögszámokra

Az n-edik nyolcszögszám, ${\displaystyle x_{n}}$ megadási képletét n-re megoldva a következő képletet kapjuk:

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {3x_{n}+1}}+1}{3}}.}$

Tetszőleges x szám nyolcszögszám mivolta tesztelhető a fenti képletbe való behelyettesítéssel. Ha n egész számra jön ki, akkor x az n-edik nyolcszögszám. Ha n nem egész szám, akkor x nem nyolcszögszám.

Ez egyben tekinthető x nyolcszöggyöke kiszámításának is.

Kapcsolódó szócikkek

• Középpontos nyolcszögszámok

Jegyzetek

1. ↑ Deza, Elena & Deza, Michel (2012), Figurate Numbers, World Scientific, p. 57, ISBN 9789814355483, <http://books.google.com/books?id=cDxYdstLPz4C&pg=PA57>.