Hexagontal

Hexagontal, även hexagonala tal, är en sorts figurtal. Det n:te hexagontalet är antalet punkter belägna i en hexagon med n regelbundet uppdelade punkter i en sida.

De första hexagontalen är:

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, ...

Formler

En formel för det n:te hexagontalet:

${\displaystyle h_{n}=2n^{2}-n=n(2n-1).\,\!}$

Summaformel för hexagontal:

${\displaystyle h_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}(4k+1)=2n^{2}-n}$

Test för hexagonala tal

För att avgöra om ett tal är hexagonalt kan n beräknas som

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}+1}{4}}}$

och om n är ett heltal så är talet x det n:te hexagontalet.

Egenskaper

• Alla hexagonala tal är triangeltal men endast vartannat triangeltal är hexagonalt.

• Hexagontal kan endast vara kongruenta med 0, 1, 3 eller 6 modulo 9.

• Varje känt perfekt tal är hexagonalt som ges av formeln nedan:

${\displaystyle M_{p}2^{p-1}=M_{p}(M_{p}+1)/2=h_{(M_{p}+1)/2}=h_{2^{p-1}}.}$

Där M_p är ett Mersenneprimtal. Det finns inte något känt udda perfekta tal, och alla jämna perfekta tal uppkommer på ovanstående sätt från Mersenneprimtal, därför är alla kända perfekta tal hexagonala.

• Summan av hexagontalens reciproker ges av

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{h_{k}}^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2\cdot k^{2}-k}}=2\ln {(2)}.}$