Polygontal

Polygontal är ett tal som representerar antalet punkter i en regelbunden polygon.

Definition och exempel

Talet 10, till exempel, är ett triangeltal och kan ordnas som en triangel.

*
**
***
****

Men talet 10 kan inte ordnas som en kvadrat. Talet 9, som är ett kvadrattal, kan däremot det.

***
***
***

Talet 36, som är ett kvadrattriangulärt tal, kan ordnas både som en kvadrat och en triangel.

******
******
******
******
******
****** 		*
**
***
****
*****
******
*******
********

Regeln för att förstora polygonen till nästa storlek är att förlänga två närliggande armar av en punkt och sedan lägga till de nödvändiga extra sidor mellan dessa punkter. Nedan visas varje extra lager i rött.

Triangeltal

 

Kvadrattal

Polygoner med högre antal sidor kan också byggas enligt denna regel.

 

Pentagontal

 

Hexagontal

 

Formler

Formeln för det n:te s-gontalet P(s,n) där s är antalet sidor i en polygon är

P ( s , n ) = n 2 ( s − 2 ) − n ( s − 4 ) 2 {\displaystyle P(s,n)={\frac {n^{2}(s-2)-n(s-4)}{2}}}

eller

P ( s , n ) = n ( s − 2 ) ( n − 1 ) 2 + n {\displaystyle P(s,n)={\frac {n(s-2)(n-1)}{2}}+n}

Det n:te s-gontalet är också relaterat till triangeltalen Tn enligt följande:

P ( s , n ) = ( s − 2 ) T n − 1 + n = ( s − 3 ) T n − 1 + T n . {\displaystyle P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.}

Således:

P ( s , n + 1 ) − P ( s , n ) = ( s − 2 ) n + 1 , {\displaystyle P(s,n+1)-P(s,n)=(s-2)n+1\,,}
P ( s + 1 , n ) − P ( s , n ) = T n − 1 = n ( n − 1 ) 2 . {\displaystyle P(s+1,n)-P(s,n)=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,.}

För ett givet s-gontal P(s,n) = x, kan man hitta n genom:

n = ( 8 s − 16 ) x + ( s − 4 ) 2 + s − 4 2 s − 4 . {\displaystyle n={\frac {{\sqrt {(8s-16)x+(s-4)^{2}}}+s-4}{2s-4}}.}

Tabell över värden

s Namn Formel n Summan av reciproka[1] OEIS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 Triangeltal ½(n²+n) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 2 {\displaystyle {2}} A000217
4 Kvadrattal n² 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 π 2 6 {\displaystyle {\pi ^{2} \over 6}} A000290
5 Pentagontal ½(3n² - n) 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 3 ln ⁡ ( 3 ) − π 3 3 {\displaystyle {3\ln \left(3\right)}-{\pi {\sqrt {3}} \over 3}} A000326
6 Hexagontal ½(4n² - 2n) 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 2 ln ⁡ ( 2 ) {\displaystyle {2\ln \left(2\right)}} A000384
7 Heptagontal ½(5n² - 3n) 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 1 15 π 25 − 10 5 + 2 3 ln ⁡ ( 5 ) + 1 + 5 3 ln ⁡ ( 1 2 10 − 2 5 ) + 1 − 5 3 ln ⁡ ( 1 2 10 + 2 5 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{15}}{\pi }{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}+{\frac {2}{3}}\ln(5)\\+{\frac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)\\+{\frac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)\end{matrix}}} [2] A000566
8 Oktogontal ½(6n² - 4n) 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 3 ln ⁡ ( 3 ) 4 + π 3 12 {\displaystyle {{3\ln \left(3\right) \over 4}+{\pi {\sqrt {3}} \over 12}}} A000567
9 Nonagontal ½(7n² - 5n) 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325 A001106
10 Dekagontal ½(8n² - 6n) 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370 ln ⁡ ( 2 ) + π 6 {\displaystyle {{\ln \left(2\right)}+{\pi \over 6}}} A001107
11 Hendekagontal ½(9n² - 7n) 1 11 30 58 95 141 196 260 333 415 A051682
12 Dodekagontal ½(10n² - 8n) 1 12 33 64 105 156 217 288 369 460 A051624
13 Tridekagontal ½(11n² - 9n) 1 13 36 70 115 171 238 316 405 505 A051865
14 Tetradekagontal ½(12n² - 10n) 1 14 39 76 125 186 259 344 441 550 2 ln ⁡ ( 2 ) 5 + 3 ln ⁡ ( 3 ) 10 + π 3 10 {\displaystyle {{2\ln \left(2\right) \over 5}+{3\ln \left(3\right) \over 10}+{\pi {\sqrt {3}} \over 10}}} A051866
15 Pentadekagontal ½(13n² - 11n) 1 15 42 82 135 201 280 372 477 595 A051867
16 Hexadekagontal ½(14n² - 12n) 1 16 45 88 145 216 301 400 513 640 A051868
17 Heptadekagontal ½(15n² - 13n) 1 17 48 94 155 231 322 428 549 685 A051869
18 Oktodekagontal ½(16n² - 14n) 1 18 51 100 165 246 343 456 585 730 A051870
19 Nonadekagontal ½(17n² - 15n) 1 19 54 106 175 261 364 484 621 775 A051871
20 Ikosagontal ½(18n² - 16n) 1 20 57 112 185 276 385 512 657 820 A051872
21 Ikosihenagontal ½(19n² - 17n) 1 21 60 118 195 291 406 540 693 865 A051873
22 Ikosidigontal ½(20n² - 18n) 1 22 63 124 205 306 427 568 729 910 A051874
23 Ikositrigontal ½(21n² - 19n) 1 23 66 130 215 321 448 596 765 955 A051875
24 Ikositetragontal ½(22n² - 20n) 1 24 69 136 225 336 469 624 801 1000 A051876
10000 Myriagontal ½(9998n² - 9996n) 1 10000 29997 59992 99985 149976 209965 279952 359937 449920 A167149

Kombinationer

Vissa tal, till exempel 36 som både är ett kvadrattal och ett triangeltal, kan ordnas med fler än en polygoner. I tabellen nedan visas olika kombinationer av polygoner.

s t Tal OEIS
4 3 1, 36, 1225, 41616, … A001110
5 3 1, 210, 40755, 7906276, … A014979
5 4 1, 9801, 94109401, … A036353
6 3 Alla hexagontal är även triangeltal A000384
6 4 1, 1225, 1413721, 1631432881, … A046177
6 5 1, 40755, 1533776805, … A046180
7 3 1, 55, 121771, 5720653, … A046194
7 4 1, 81, 5929, 2307361, … A036354
7 5 1, 4347, 16701685, 64167869935, … A048900
7 6 1, 121771, 12625478965, … A048903
8 3 1, 21, 11781, 203841, … A046183
8 4 1, 225, 43681, 8473921, … A036428
8 5 1, 176, 1575425, 234631320, … A046189
8 6 1, 11781, 113123361, … A046192
8 7 1, 297045, 69010153345, … A048906
9 3 1, 325, 82621, 20985481, … A048909
9 4 1, 9, 1089, 8281, 978121, … A036411
9 5 1, 651, 180868051, … A048915
9 6 1, 325, 5330229625, … A048918
9 7 1, 26884, 542041975, … A048921
9 8 1, 631125, 286703855361, … A048924

I vissa fall, till exempel s = 10 och t = 4, finns det inga tal i båda polygonerna förutom 1.

För fallet s = 4 och t = 3, se kvadrattriangulärt tal.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Polygonal number, 26 juni 2013.
  • The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) ISBN 0-14-026149-4
  • Polygonal numbers at PlanetMath
  • Weisstein, Eric W., "Polygonal Numbers", MathWorld.
  • F. Tapson (1999). The Oxford Mathematics Study Dictionary (2nd). Oxford University Press. sid. 88-89. ISBN 0-19-914-567-9 

Fotnoter

  1. ^ ”Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers”. Arkiverad från originalet den 29 maj 2013. https://web.archive.org/web/20130529032918/http://www.math.psu.edu/sellersj/downey_ong_sellers_cmj_preprint.pdf. Läst 26 juni 2013. 
  2. ^ ”Sums of Reciprocals of Polygonal Numbers and a Theorem of Gauss”. Society for Industrial and Applied Mathematics. Arkiverad från originalet den 15 juni 2011. https://web.archive.org/web/20110615085610/http://www.siam.org/journals/problems/downloadfiles/07-003s.pdf. Läst 13 juni 2010. 
v • r
Naturliga tal (ℕ)
 Heltalspotenser
Akilles · Tvåpotens · Tiopotens · Kvadrat · Kub · Fjärde potens · Femte potens · Primtalspotens
 Av formen a × 2b ± 1
Andra polynomtal
Rekursivt definierade tal
Fibonacci (Ordning: 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9) · Jacobsthal · Leonardo · Perrin
Ospecifika mängder av andra tal
Uttryckbara via specifika summor
Genererade via ett såll
Kodrelaterade
Figurtal
Icke-centrerade
Triangel · Kvadrat · 5∡ · 6∡ · 7∡ · 8∡ · 9∡ · 10∡ · 11∡ · 12∡ · 13∡ · 14∡ · 15∡ · 16∡ · 17∡ · 18∡ · 19∡ · 20∡ · 21∡ · 22∡ · 23∡ · 24∡ · Myriagon · Rektangel
Tetraeder · Kubiktal · Oktaeder · Dodekaeder · Ikosaeder
Pseudoprimtal
Kombinatoriska tal
Aritmetiska funktioner
Genom egenskaper hos σ(n)
Genom egenskaper hos Ω(n)
Genom egenskaper hos s(n)
Övriga tal
Andra primtalsfaktor- eller
delbarhetsrelarerade tal
Bas-beroende tal
Rekreationell matematik
Heltalsmängder · Lista över tal