Primtalspotens

Inom matematiken är en primtalspotens, även kallad primpotens, en potens, där basen är ett primtal och exponenten ett heltal ≥ 0.

Exempel på primtalspotenser är: 1 = 2⁰, 5 = 5¹, 9 = 3² och 16 = 2⁴.

Eftersom talet 1 = p⁰, inte har någon entydig primtalsbas, så anses det ibland inte vara en primtalspotens.

De första primtalspotenserna är:

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 125, 127, 128, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, … (talföljd A000961 i OEIS)

Primtalspotenserna är, förutom talet 1, de positiva heltal som är delbara med exakt ett primtal. Primtalspotenser och relaterade begrepp kallas även primära tal, som i primärdekompositionen.

Egenskaper

Algebraiska egenskaper

Varje primtalspotens (utom tvåpotens) har en primitiv rot, alltså är den multiplikativa gruppen av heltal modulo pⁿ (eller ekvivalent^{[särskiljning behövs]}, enhetsgruppen i ringen Z/pⁿZ) cyklisk.

Antalet element i en ändlig kropp är alltid en primtalspotens och omvänt hålls varje primtalspotens som antalet element i någon ändlig kropp (som är unik upp till isomorfi.)

Kombinatoriska egenskaper

En egenskap hos primtalspotenser som ofta används för analytisk talteori är att mängden av primtalspotenser som inte är primtal är en liten mängd i den meningen att den oändliga summan av deras reciprokkonvergenta. Även primtalen utgör en stor mängd.

Delbarhet-relaterade egenskaper

Eulers fi-funktion (φ) och sigmafunktionen (σ₀) och (σ₁) av en primtalspotens beräknas med formlerna:

${\displaystyle \phi (p^{n})=p^{n-1}\phi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}$,

${\displaystyle \sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0*j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1}$,

${\displaystyle \sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1*j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}}$.

Alla primtalspotenser är defekta tal. En primtalspotens pⁿ är ett n nästan-primtal. Det är inte känt om en primtalspotens pⁿ kan vara ett vänskapligt tal. Om det finns ett sådant tal, sedan pⁿ, måste det vara större än 10¹⁵⁰⁰ och n måste vara större än 1400.

Inom populärkulturen

I filmen Cube från 1997 spelar primtalspotenser en viktig roll, i egenskap av indikatorer på dödliga faror i en labyrintliknande kubstruktur.

Se även

• Perfekt potens
• Nästan-primtal
• Semiprimtal

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Prime power, 16 oktober 2013.

• Elementary Number Theory. Jones, Gareth A. and Jones, J. Mary. Springer-Verlag London Limited. 1998.