Hyperperfekt tal
Inom matematiken är ett k-hyperperfekt tal ett naturligt tal n för vilka likheten n = 1 + k(σ(n) − n − 1) innehar, där σ(n) är sigmafunktionen (det vill säga summan av alla positiva delare av n). Ett hyperperfekt tal är ett k-hyperperfekt tal för något heltal k. Hyperperfekta tal generaliserar perfekta tal, som är 1-hyperperfekta.
De första talen i talföljden av k-hyperperfekta tal är:
- 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, 1333, 1909, 2041, 2133, 3901, 8128, 10693, 16513, 19521, 24601, 26977, 51301, 96361, 130153, 159841, 163201, 176661, 214273, 250321, 275833, 296341, 306181, 389593, 486877, 495529, 542413, 808861, 1005421, 1005649, 1055833, … (talföljd A034897 i OEIS)
med motsvarande värden för k
- 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, 18, 18, 12, 2, 30, 1, 11, 6, 2, 60, 48, 19, 132, 132, 10, 192, 2, 31, 168, 108, 66, 35, 252, 78, 132, 342, 366, 390, 168, 348, 282, 498, 540, 546, 59, 12, 378, 438, 4, 222, 336, 18, 660, 138, 798, 810, 528, 450, 75, 252, 150, 948, 162, … (talföljd A034898 i OEIS)
De första hyperperfekta talen som inte är perfekta är:
- 21, 301, 325, 697, 1333, 1909, 2041, 2133, 3901, 10693, 16513, 19521, 24601, 26977, 51301, 96361, 130153, 159841, 163201, 176661, 214273, 250321, 275833, 296341, 306181, 389593, 486877, 495529, 542413, 808861, 1005421, 1005649, 1055833, 1063141, 1232053, … (talföljd A007592 i OEIS)
Lista över hyperperfekta tal
I följande tabell visas de första k-hyperperfekta talen för vissa värden på k, tillsammans med länk till nätuppslagsverket över heltalsföljder (OEIS):
| k | OEIS | k-hyperperfekt tal |
|---|---|---|
| 1 |  A000396 | 6, 28, 496, 8128, 33550336, … |
| 2 | A007593 | 21, 2133, 19521, 176661, 129127041, … |
| 3 | 325, … | |
| 4 | 1950625, 1220640625, … | |
| 6 | A028499 | 301, 16513, 60110701, 1977225901, … |
| 10 | 159841, … | |
| 11 | 10693, … | |
| 12 | A028500 | 697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, … |
| 18 | A028501 | 1333, 1909, 2469601, 893748277, … |
| 19 | 51301, … | |
| 30 | 3901, 28600321, … | |
| 31 | 214273, … | |
| 35 | 306181, … | |
| 40 | 115788961, … | |
| 48 | 26977, 9560844577, … | |
| 59 | 1433701, … | |
| 60 | 24601, … | |
| 66 | 296341, … | |
| 75 | 2924101, … | |
| 78 | 486877, … | |
| 91 | 5199013, … | |
| 100 | 10509080401, … | |
| 108 | 275833, … | |
| 126 | 12161963773, … | |
| 132 | 96361, 130153, 495529, … | |
| 136 | 156276648817, … | |
| 138 | 46727970517, 51886178401, … | |
| 140 | 1118457481, … | |
| 168 | 250321, … | |
| 174 | 7744461466717, … | |
| 180 | 12211188308281, … | |
| 190 | 1167773821, … | |
| 192 | 163201, 137008036993, … | |
| 198 | 1564317613, … | |
| 206 | 626946794653, 54114833564509, … | |
| 222 | 348231627849277, … | |
| 228 | 391854937, 102744892633, 3710434289467, … | |
| 252 | 389593, 1218260233, … | |
| 276 | 72315968283289, … | |
| 282 | 8898807853477, … | |
| 296 | 444574821937, … | |
| 342 | 542413, 26199602893, … | |
| 348 | 66239465233897, … | |
| 350 | 140460782701, … | |
| 360 | 23911458481, … | |
| 366 | 808861, … | |
| 372 | 2469439417, … | |
| 396 | 8432772615433, … | |
| 402 | 8942902453, 813535908179653, … | |
| 408 | 1238906223697, … | |
| 414 | 8062678298557, … | |
| 430 | 124528653669661, … | |
| 438 | 6287557453, … | |
| 480 | 1324790832961, … | |
| 522 | 723378252872773, 106049331638192773, … | |
| 546 | 211125067071829, … | |
| 570 | 1345711391461, 5810517340434661, … | |
| 660 | 13786783637881, … | |
| 672 | 142718568339485377, … | |
| 684 | 154643791177, … | |
| 774 | 8695993590900027, … | |
| 810 | 5646270598021, … | |
| 814 | 31571188513, … | |
| 816 | 31571188513, … | |
| 820 | 1119337766869561, … | |
| 968 | 52335185632753, … | |
| 972 | 289085338292617, … | |
| 978 | 60246544949557, … | |
| 1050 | 64169172901, … | |
| 1410 | 80293806421, … | |
| 2772 | A028502 | 95295817, 124035913, … |
| 3918 | 61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, … | |
| 9222 | 404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, … | |
| 9828 | 432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, … | |
| 14280 | 848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, … | |
| 23730 | 2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, … | |
| 31752 | A034916 | 4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, … |
| 55848 | 15166641361, 44783952721, 67623550801, … | |
| 67782 | 18407557741, 18444431149, 34939858669, … | |
| 92568 | 50611924273, 64781493169, 84213367729, … | |
| 100932 | 50969246953, 53192980777, 82145123113, … |
Det kan bevisas att om k > 1 är ett udda heltal och p = (3k + 1) / 2 och q = 3k + 4 är primtal, då är p2q k-hyperperfekt. Judson S. McCranie förmodade år 2000 att alla k-hyperperfekta tal för udda k > 1 är av denna form, men hypotesen har varken bevisats eller motbevisats än. Det kan också bevisas att om p ≠ q är udda primtal och k är ett heltal sådana att k(p + q) = pq - 1, då är pq k-hyperperfekt.
Det är också möjligt att bevisa att om k > 0 och p = k + 1 är primtal, då resulterar det att för alla i > 1 sådana att q = pi - p + 1 är primtal, och därav är n = pi - 1q k-hyperperfekt. Följande tabell listar de kända värdena för k och motsvarande värden på i för vilket n är k-hyperperfekt:
| k | OEIS | Värde av i |
|---|---|---|
| 16 | A034922 | 11, 21, 127, 149, 469, … |
| 22 | 17, 61, 445, … | |
| 28 | 33, 89, 101, … | |
| 36 | 67, 95, 341, … | |
| 42 | A034923 | 4, 6, 42, 64, 65, … |
| 46 | A034924 | 5, 11, 13, 53, 115, … |
| 52 | 21, 173, … | |
| 58 | 11, 117, … | |
| 72 | 21, 49, … | |
| 88 | A034925 | 9, 41, 51, 109, 483, … |
| 96 | 6, 11, 34, … | |
| 100 | A034926 | 3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, … |
Källor
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hyperperfect number, 15 november 2013.
- Daniel Minoli, Robert Bear (Fall 1975), ”Hyperperfect numbers”, Pi Mu Epsilon Journal 6 (3): 153–157 .
- Daniel Minoli (Dec 1978), ”Sufficient forms for generalized perfect numbers”, Annales de la Faculté des Sciences UNAZA 4 (2): 277–302 .
- Daniel Minoli (Feb. 1981), ”Structural issues for hyperperfect numbers”, Fibonacci Quarterly 19 (1): 6–14 .
- Daniel Minoli (April 1980), ”Issues in non-linear hyperperfect numbers”, Mathematics of Computation 34 (150): 639–645 .
- Daniel Minoli (October 1980), ”New results for hyperperfect numbers”, Abstracts of the American Mathematical Society 1 (6): 561 .
- Daniel Minoli, W. Nakamine (1980), ”Mersenne numbers rooted on 3 for number theoretic transforms”, International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing .
- Judson S. McCranie (2000), ”A study of hyperperfect numbers”, Journal of Integer Sequences 3, arkiverad från ursprungsadressen den 2004-04-05, https://web.archive.org/web/20040405175234/http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/mccranie.html .
- Daniel Minoli, Voice over MPLS, McGraw-Hill, New York, NY, 2002, ISBN 0-07-140615-8 (p. 114-134)
| ||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
