Kvadrattriangulärt tal

Kvadrattriangulärt tal (eller triangulärt kvadrattal) är ett tal som både är triangeltal och kvadrattal. Det finns oändligt många kvadrattriangulära tal.

De första kvadrattriangulära talen är:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625 … (talföljd A001110 i OEIS)

Explicita formler

Skriv Nk för det k:te kvadrattriangulära talet, och skriv sk och tk för sidorna av motsvarande kvadrat och triangel, så att

N k = s k 2 = t k ( t k + 1 ) 2 . {\displaystyle N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.}

Serierna Nk, sk och tk är OEIS-talföljderna A001110, A001109, och A001108.

År 1778 fastställde Leonhard Euler den explicita formeln[1][2]:12–13

N k = ( ( 3 + 2 2 ) k − ( 3 − 2 2 ) k 4 2 ) 2 . {\displaystyle N_{k}=\left({\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.}

Andra explicita formler (som ges genom att utöka denna formel) som kan vara praktiska är

N k = 1 32 ( ( 1 + 2 ) 2 k − ( 1 − 2 ) 2 k ) 2 = 1 32 ( ( 1 + 2 ) 4 k − 2 + ( 1 − 2 ) 4 k ) = 1 32 ( ( 17 + 12 2 ) k − 2 + ( 17 − 12 2 ) k ) . {\displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}\right)^{2}={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{4k}-2+(1-{\sqrt {2}})^{4k}\right)\\&={1 \over 32}\left((17+12{\sqrt {2}})^{k}-2+(17-12{\sqrt {2}})^{k}\right).\end{aligned}}}

Motsvarande explicita formler för sk och tk är [2]:13

s k = ( 3 + 2 2 ) k − ( 3 − 2 2 ) k 4 2 {\displaystyle s_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}}

och

t k = ( 3 + 2 2 ) k + ( 3 − 2 2 ) k − 2 4 . {\displaystyle t_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}+(3-2{\sqrt {2}})^{k}-2}{4}}.}

Pells ekvation

Problemet med att hitta kvadrattriangulära tal reducerar till Pells ekvation på följande sätt:[3] Varje triangeltal är av formen t(t + 1)/2. Därför söker vi heltal t, s, så att

t ( t + 1 ) 2 = s 2 . {\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}.}

Med lite algebra blir det

( 2 t + 1 ) 2 = 8 s 2 + 1 , {\displaystyle (2t+1)^{2}=8s^{2}+1,}

genom att x = 2t + 1 och y = 2s, får vi den Diofantiska ekvationen

x 2 − 2 y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1}

vilket är en förekomst av Pells ekvation. Denna speciella ekvation löses genom Pelltalen Pk som[4]

x = P 2 k + P 2 k − 1 , y = P 2 k ; {\displaystyle x=P_{2k}+P_{2k-1},\quad y=P_{2k};}

och därav ges alla lösningar av

s k = P 2 k 2 , t k = P 2 k + P 2 k − 1 − 1 2 , N k = ( P 2 k 2 ) 2 . {\displaystyle s_{k}={\frac {P_{2k}}{2}},\quad t_{k}={\frac {P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2}},\quad N_{k}=\left({\frac {P_{2k}}{2}}\right)^{2}.}

Det finns många identiteter av Pelltal, och dessa omvandlas till identiteter av de kvadrattriangulära talen.

Differensekvationer

Det finns differensekvationer för kvadrattriangulära tal, liksom för sidorna i kvadraten och triangeln. Vi har[5]:(12)

N k = 34 N k − 1 − N k − 2 + 2 ,  med  N 0 = 0  och  N 1 = 1. {\displaystyle N_{k}=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,{\text{ med }}N_{0}=0{\text{ och }}N_{1}=1.}
N k = ( 6 N k − 1 − N k − 2 ) 2 ,  med  N 0 = 1  och  N 1 = 36. {\displaystyle N_{k}=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2},{\text{ med }}N_{0}=1{\text{ och }}N_{1}=36.}

Vi har[1][2]:13

s k = 6 s k − 1 − s k − 2 ,  med  s 0 = 0  och  s 1 = 1 ; {\displaystyle s_{k}=6s_{k-1}-s_{k-2},{\text{ med }}s_{0}=0{\text{ och }}s_{1}=1;}
t k = 6 t k − 1 − t k − 2 + 2 ,  med  t 0 = 0  och  t 1 = 1. {\displaystyle t_{k}=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,{\text{ med }}t_{0}=0{\text{ och }}t_{1}=1.}

Andra karakteriseringar

Alla kvadrattriangulära tal har formen b2c2, där b / c är en konvergent till kedjebråket för kvadratroten ur 2.[6]

A. V. Sylwester gav ett kort bevis på att det finns oändligt många kvadrattriangulära tal, nämligen:[7]

Om triangeltalet n(n+1)/2 är kvadratiskt, då är det nästa större triangeltalet

( 4 n ( n + 1 ) ) ( 4 n ( n + 1 ) + 1 ) 2 = 2 2 n ( n + 1 ) 2 ( 2 n + 1 ) 2 . {\displaystyle {\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=2^{2}\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,(2n+1)^{2}.}

Vi vet att denna lösning måste vara en kvadrat, eftersom det är en produkt av tre kvadrater: 2^2 (av exponenten), (n(n+1))/2 (det n:te triangeltalet, av bevis förutsättande) och (2n+1)^2 (av exponenten). Produkten av alla tal som är kvadrater kommer att leda till en annan kvadrat, vilket bäst kan bevisas genom att geometriskt visualisera multiplikation av en NxN-låda med en MxM-låda, vilket görs genom att placera en MxM-låda inuti varje cell av NxN-lådan, som ger en annan kvadratisk lösning.

Den genererande funktionen för de kvadrattriangulära talen är:[8]

1 + z ( 1 − z ) ( z 2 − 34 z + 1 ) = 1 + 36 z + 1225 z 2 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {1+z}{(1-z)(z^{2}-34z+1)}}=1+36z+1225z^{2}+\cdots .}

Numeriska data

Eftersom k blir större så är förhållandet tk / sk 2 ≈ 1.41421 {\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.41421} och förhållandet mellan successiva kvadrattriangulära tal

k N k s k t k t k / s k N k / N k − 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 36 6 8 1.33333 36 3 1 225 35 49 1.4 34.02778 4 41 616 204 288 1.41176 33.97224 5 1 413 721 1 189 1 681 1.41379 33.97061 6 48 024 900 6 930 9 800 1.41414 33.97056 7 1 631 432 881 40 391 57 121 1.41420 33.97056 {\displaystyle {\begin{array}{rrrrll}k&N_{k}&s_{k}&t_{k}&t_{k}/s_{k}&N_{k}/N_{k-1}\\0&0&0&0&&\\1&1&1&1&1&\\2&36&6&8&1.33333&36\\3&1\,225&35&49&1.4&34.02778\\4&41\,616&204&288&1.41176&33.97224\\5&1\,413\,721&1\,189&1\,681&1.41379&33.97061\\6&48\,024\,900&6\,930&9\,800&1.41414&33.97056\\7&1\,631\,432\,881&40\,391&57\,121&1.41420&33.97056\\\end{array}}}

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Square triangular number, 20 oktober 2013.
  1. ^ [a b] Dickson, Leonard Eugene (1999) [1920]. History of the Theory of Numbers. "2". Providence: American Mathematical Society. sid. 16. ISBN 978-0-8218-1935-7 
  2. ^ [a b c] Euler, Leonhard (1813). ”Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (An easy rule for Diophantine problems which are to be resolved quickly by integral numbers)” (på latin). Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg 4: sid. 3–17. http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E739.html. Läst 11 maj 2009. ”According to the records, it was presented to the St. Petersburg Academy on May 4, 1778.”. 
  3. ^ Barbeau, Edward (2003). Pell's Equation. Problem Books in Mathematics. New York: Springer. sid. 16–17. ISBN 978-0-387-95529-2. http://books.google.com/?id=FtoFImV5BKMC&pg=PA16. Läst 10 maj 2009 
  4. ^ Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979). An Introduction to the Theory of Numbers (5th). Oxford University Press. sid. 210. ISBN 0-19-853171-0. ”Theorem 244” 
  5. ^ Weisstein, Eric W., "Square Triangular Number", MathWorld. (engelska)
  6. ^ Ball, W. W. Rouse; Coxeter, H.S.M. (1987). Mathematical Recreations and Essays. New York: Dover Publications. sid. 59. ISBN 978-0-486-25357-2 
  7. ^ Pietenpol, J. L. (1962). ”Elementary Problems and Solutions: E 1473, Square Triangular Numbers”. American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 69 (2): sid. 168–169. 
  8. ^ Plouffe, Simon (August 1992). ”1031 Generating Functions” (PDF). University of Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique. sid. A.129. Arkiverad från originalet den 6 februari 2013. https://www.webcitation.org/6EEFLpSDH?url=http://www.plouffe.fr/simon/articles/FonctionsGeneratrices.pdf. Läst 11 maj 2009. 

Externa länkar

  • Triangeltal som även är kvadrattal på cut-the-Knot (engelska)
  • Weisstein, Eric W., "Square Triangular Number", MathWorld. (engelska)
  • Michael Dummett's lösning (engelska)
v • r
Naturliga tal (ℕ)
 Heltalspotenser
Akilles · Tvåpotens · Tiopotens · Kvadrat · Kub · Fjärde potens · Femte potens · Primtalspotens
 Av formen a × 2b ± 1
Andra polynomtal
Rekursivt definierade tal
Fibonacci (Ordning: 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9) · Jacobsthal · Leonardo · Perrin
Ospecifika mängder av andra tal
Uttryckbara via specifika summor
Genererade via ett såll
Kodrelaterade
Figurtal
Triangel · Kvadrat · 5∡ · 6∡ · 7∡ · 8∡ · 9∡ · 10∡ · 11∡ · 12∡ · 13∡ · 14∡ · 15∡ · 16∡ · 17∡ · 18∡ · 19∡ · 20∡ · 21∡ · 22∡ · 23∡ · 24∡ · Myriagon · Rektangel
Tetraeder · Kubiktal · Oktaeder · Dodekaeder · Ikosaeder
Tesserakt · Kvadrattriangulärt · Kubkvadrat
Pseudoprimtal
Kombinatoriska tal
Aritmetiska funktioner
Genom egenskaper hos σ(n)
Genom egenskaper hos Ω(n)
Genom egenskaper hos s(n)
Övriga tal
Andra primtalsfaktor- eller
delbarhetsrelarerade tal
Bas-beroende tal
Rekreationell matematik
Heltalsmängder · Lista över tal